انتزاع گرایی ، به طور کلی ، روایتی فلسفی از معرفت شناسی و متافیزیک ریاضیات (یا به طور کلی اشیاء انتزاعی) است که بر اساس آن ، ماهیت و دانش ما از موضوع ریاضیات بر اساس انتزاع است . در مورد نوع انتزاعی که در گزارشهای انتزاعی در مورد مبانی ریاضیات زیر مورد است (و به ویژه ، بیشتر در مورد اینکه چرا دیدگاهی که انتزاع را در بر گرفت ، نمونه ای از انتزاع گرایی به معنای اصطلاحی است که در اینجا مورد بحث است ) بیشتر گفته می شود. ، اما ابتدا ، باید در مورد دقیقاً انتزاع چیست ، چیزی گفته شود.

قبل از انجام این کار ، کمی ماشین آلات ریاضی مورد نیاز است. با توجه به دامنه ای از اشخاص $\ دلتا$ (این اشیاء می تواند باشد، و یا خواص، و یا نوعی دیگر از “چیز”)، یکی می گوید که رابطه $R$ یک IS رابطه هم ارزی در $\ دلتا$ اگر و تنها اگر سه شرط زیر را دارا باشد:

$R$ بازتابی است (روشن $\ دلتا$ ):

برای هر $\ آلفا$ در $\ دلتا$ ، $R (\ آلفا ، \ آلفا)$ .

$R$ متقارن است (روشن $\ دلتا$ ):

برای هر $\ alpha ، \ beta$ در $\ دلتا$ ، اگر $R (\ آلفا ، \ بتا)$ پس از آن $R (\ بتا ، \ آلفا)$ .

$R$ گذرا (روشن $\ دلتا$ ) است:

برای هر $\ alpha ، \ beta ، \ delta$ در $\ دلتا$ ، اگر $R (\ آلفا ، \ بتا)$ و $R (\ بتا ، \ دلتا)$ ، پس $R (\ آلفا ، \ دلتا)$ .

به طور شهودی ، یک رابطه معادل $R$ مجموعه ای از موجودیت ها $\ دلتا$ را به مجموعه های فرعی تقسیم می کند $X_1 ، X_2 ، \ نقاط$ ، که هر کدام $X_i$ زیر مجموعه ای از $\ دلتا$ ؛ $X_i$ هستند منحصر به فرد (هیچ نهاد در $\ دلتا$ یک عضو از بیش از یکی از کلاس های است $X_1 ، X_2 ، \ نقاط$ )؛ $X_i$ هستند جامع (هر نهاد در $\ دلتا$ است در یکی از کلاس های $X_1 ، X_2 ، \ نقاط$ )؛ و یک شی $ایکس$ در یکی از زیر مجموعه های $X_i$ است مربوط $R$ به هر جسم دیگر در همان زیر مجموعه، و توسط مربوط $R$ به هیچ اشیاء دیگر در $\ دلتا$ . کلاسها $X_i$ به عنوان کلاسهای معادل سازی ایجاد شده توسط $R$ on شناخته می شوند $\ دلتا$ .

انتزاع فرایندی است که از طریق شناسایی رابطه معادل سازی بر طبقه ای از موجودات آغاز می شود – یعنی طبقه ای از اشیاء (یا خواص ، یا انواع دیگر “چیز”) بر اساس برخی از ویژگی های مشترک به کلاس های معادل تقسیم می شوند. برای مشخص شدن همه چیز ، فرض کنیم کلاسی که با آن شروع می کنیم مجموعه ای از اشیاء فیزیکی متوسط است و اجازه دهید این کلاس را بر اساس هم اندازه بودن آنها به زیر کلاس های اشیا تقسیم کنیم (یعنی ، رابطه معادل سازی مورد بحث یکسان بودن اندازه است ). ما پس از آن (در برخی مفاهیم) انتزاعی و دور از ویژگی های خاص هر شی که از اشیاء دیگر در کلاس همارزی همان، شناسایی (و یا ایجاد) یک شی ممتاز آن ( انتزاعی) مربوط به هر کلاس معادل سازی (و از این رو مربوط به یا کدگذاری صفت مشترک همه و فقط اعضای آن کلاس معادل سازی بود). بنابراین ، در مثال ما ، ما تمام ویژگی ها ، مانند رنگ ، وزن یا بافت سطح ، را که در بین اشیاء در یک کلاس معادل متفاوت متفاوت است ، حذف می کنیم. اشیاء بدیع از طریق انتزاع- اندازه ها- شامل ویژگی های مشترک هر کلاس معادل سازی می شوند ، و بنابراین ما اندازه متمایز مربوط به هر کلاس معادل اشیاء فیزیکی با اندازه یکسان را بدست می آوریم .

مباحث انتزاعی و ماهیت چکیده بدست آمده من توانستم در طول تاریخ فلسفه غرب پیدا شده و به تجزیه و تحلیل قبلی ارسطو (ارسطو 1975) بازگشت. یکی دیگر از نمونه های مورد مورد بحث ، (یک روش تفسیر) تعریف 5 کتاب پنجم عناصر اقلیدس ارائه شده است . در این تعریف ، اقلیدس مفهوم نسبت را به شرح زیر معرفی می کند:

گفته می شود که بزرگی ها در یک نسبت هستند ، اول به دوم و سوم به چهارم ، هنگامی که اگر از اول و سوم هر دو برابر و هر دو از چهار و دو برابر باشد ، دو برابر سابق یکسان هستند به ترتیب برابر ، یا به طور یکسان از دو دومی اخیر به ترتیب ترتیب داده شده فراتر می روند. (اقلیدس 2012 ، V.5)

به بیان ساده ، اقلیدس یک رابطه هم ارزی پیچیده را معرفی می کند:

بودن در یک نسبت

که بین جفت بزرگی (یا نه) نگه می دارد. دو جفت اندازه $(الف ، ب)$ و $(ج ، د)$ در وجود در یک نسبت نسبت اگر و فقط اگر ، برای هر عددی وجود دارد $و$ و $f$ ما داریم:

$a \ times e> b \ بار f$ اگر و فقط اگر $c \ زمان e> d \ زمان f$ ؛

$a \ times e = b \ بار f$ اگر و فقط اگر $c \ زمان e = d \ بار f$ ؛

$a \ times e <b \ بار f$ اگر و فقط اگر $c \ زمان e <d \ زمان f$ .

به معنای واقعی کلمه ، روشن نیست که تعریف اقلیدس 5 نمونه ای از پیشرفت انتزاع است ، زیرا به نظر نمی رسد اقلیدس گام نهایی را به صراحت بر داشته باشد: معرفی اشیاء شخص – یعنی نسبت ها – برای “ایستادگی” رابطه ای که بین جفت است بزرگی هایی که وجود دارند در یک نسبت نسبی قرار می دهند ، نگه می دارد. اما ، برای برداشتن آخرین گام ، ما فقط باید علامت زیر (تا حدودی مدرن تر) را معرفی کنیم:

$a: b = c: d$

جایی که اگر و فقط اگر و در یک نسبت یکسان به عنوان و . اگر شکل منطقی این معادله را به صورت اسمی – یعنی تصدیق هویت نسبت و نسبت – در نظر بگیریم ، اکنون اشیاء جدید ، نسبت آنها را داریم و فرایند انتزاع کامل شده است. $a: b = c: d$ $آ$ $ب$ $ج$ $د$ $الف: ب$ $ج: د$

ما می توانیم (تا حدودی به طور بی زمان ، اما با این وجود کمک کننده) این بازسازی انتزاعی را که در معرفی نسبت ها به عنوان اصل نسبت زیر مورد استفاده قرار گرفت ، مجدداً تنظیم کنیم :

$\ begin {align*} {\ sf RP}: (\ forall a) (\ forall b) (\ forall c) (\ forall d) [a: b = c: d \ leftrightarrow (\ forall e) (\ forall f) (& (a \ times e> b \ times f \ leftrightarrow c \ times e> d \ times f) \\ \ land \ & (a \ times e = b \ times f \ leftrightarrow c \ times e = d \ times f) \\ \ land \ & (a \ times e <b \ times f \ leftrightarrow c \ times e <d \ times f))] \ end {align*}$

اشیاء جدید ، نسبت ها ، در بیانیه هویت در سمت چپ شرایط دو شرطی معرفی می شوند و رفتار آنها (به ویژه شرایط هویت نسبت ها) با رابطه معادل سازی که در سمت راست دو شرطی رخ می دهد تنظیم می شود. به

از آنجا که این بحث از اقلیدس نشان میدهد، اغلب نامشخص است (به خصوص قبل از اواخر 19 ^ام که آیا یک تعریف یا بحث خاص به معنای استفاده از انتزاع قرن، پایین را ببینید)، از آن نامشخص است که از موارد زیر در نظر گرفته شده:

تعریف یا بحث فقط رابطه جدیدی را معرفی می کند که بین انواع مختلف شیء برقرار است (برای مثال ، رابطه را در یک نسبت معرفی می کند ) ، اما هیچ چیز دیگری انجام نمی دهد.
منظور از تعریف یا بحث بیان روابط است که بین اشیاء تشخیص داده شده و قبلاً برقرار شده است (به عنوان مثال ، این دقیقاً توضیح می دهد که چه زمانی دو نسبت یکسان هستند ، در حالتی که فرض بر این است که ما قبلاً به نحوی می پذیریم دانیم که نسبت ها چیست).
منظور از تعریف یا بحث ، معرفی نوع استفاده از شیء است که بر اساس رابطه تعریف می شود که بین اجسام یک نوع مجزا و کاملا درک شده وجود دارد (به عنوان مثال ، نسبتها به عنوان اشیای مورد نیاز از طریق فرایند انتزاع بدست می شود) نسبت به یک نسبت ).

تنها آخرین مورد به عنوان انتزاع به حساب می آید و به درستی درک شده است (حداقل از نظر دریافت آنزاع که در خانواده دیدگاه هایی که به عنوان انتزاع به من تبدیل شده اند ، تقویت شده است).

با توجه به این موارد که می برنامه های کاربردی صریح و روشن از انتزاع است که، مواردی که یک رابطه هم ارزی در یک کلاس قبلا درک از نهادهای استفاده شده است را به شما معرفی اشیاء جدید (خلاصه) مربوط به هم ارزی نتیجه طبقات وجود دارد سه راه مجزا که اشیایی که معرفی شده اند قابل درک هستند:

چکیده مربوط به هر کلاس معادل سازی با یک نماینده متعارف از آن کلاس معادل سازی مشخص می شود (به عنوان مثال ، ما نسبت 1: 2 را با جفت بزرگی ⟨1 متر ، 2 متر identify تشخیص می دهیم).
چکیده مربوط به هر کلاس معادل سازی با آن کلاس معادل سازی مشخص می شود (به عنوان مثال ، ما نسبت 1: 2 را با کلاس معادل جفت اندازه ها که با 1، 1 متر ، 2 متر مساوی هستند) شناسایی می کنیم.
چکیده مربوط به هر کلاس معادل سازی چکیده ای جدید تلقی می شود.

از نظر تاریخی ، استفاده از انتزاع در نظریه اعداد اولین راه را در پیش گرفته است ، زیرا چکیده مربوط به یک کلاس معادل اعداد طبیعی (یا هر زیر مجموعه ای از مجموعه ای از اشیاء ریاضی با نظم خوب) همیشه می تواند مورد استفاده قرار گیرد. کمترین عدد در آن کلاس معادل سازی باشد. شاید تا حدی شگفت آور ، گزینه دوم – شناسایی چکیده ها با خود کلاسهای معادل مربوطه – تا قبل از کار فرگه تا حدودی غیر معمول بود . با این حال ، این واقعیت که پس از کار فرگه غیر معمول باقی می ماند ، چندان شگفت آور نیست ، زیرا خطرات ذاتی این روش توسط پارادوکسهای نظری مجموعه ای که آثار او را آزار داده بود ، آشکار شد. گزینه سوم – در نظر گرفتن چکیده ها به عنوان اشیاء انتزاعی جدید – در هندسه نسبتاً متداول بود^هفتم قرن ، و این روش این است که اصلی در دیدگاه فلسفی به نام نئو منطق گرایی ، مورد بحث در §4 شرح زیر است.

به طور کلی این خلاصه مختصر نقش انتزاع در تاریخ ریاضیات به سختی سطح را خراش می دهد و خواننده ای است که می خواهد به ارائه خدمات بیشتر تاریخ انتزاع قبل از کار فرگه است ، تشویق می شود تا فصل های اول این مقاله عالی () مانکوسو 2016) به اما برای هدف ما کافی است ، هدف اصلی ما انتزاع به طور کلی نیست ، استفاده از آن در رویکردهای انتزاعی به فلسفه ریاضیات (و همانطور که قبلاً اشاره شد ، به طور کلی اشیاء انتزاعی) است.

2. تعریف انتزاع گرایی

انتزاع گرایی ، همانطور که در اینجا این اصطلاح را درک خواهیم کرد ، روایتی از مبانی ریاضیات است که شامل استفاده از اصول انتزاعی (یا اصولی معادل یا مشتق از اصول انتزاعی است ، بحث تجرید پویا را در § 5 در زیر مشاهده کنید) به یک اصل انتزاعی فرمول فرم است:

${\ sf A} _E: (\ forall \ alpha) (\ forall \ beta) [ @(\ \ alpha) = @(\ beta) \ leftrightarrow E (\ alpha، \ beta)]$

که در آن $\ آلفا$ و $\ بتا$ بر روی یک نوع (معمولاً اشیاء ، مفاهیم ، روابط n -ary یا دنباله هایی از این قبیل) ، $و$ رابطه ای برابر با موجودات آن نوع است و $@$ تابعی از آن نوع به اشیاء است. ” $@$ ” عملگر انتزاع است و اصطلاحات فرم ” $@(\ آلفا)$ ” عبارتهای انتزاعی هستند . ایده اصلی زیر بنای همه اشکال انتزاعی گرایی این است که اصول انتزاعی با ارائه شرایط هویتی برای اشیاء انتزاعی که تحت آن مفاهیم (یعنی اشیاء در محدوده $_AND$ ) از نظر رابطه معادل قرار می گیرند ، مفاهیم ریاضی را معرفی می کنند $E (X ، Y)$ .

از آنجا که این همه در نگاه اول کمی باطنی به نظر می رسید ، چند مثال مفید خواهد بود. یکی از اصول انتزاعی که بسیار مورد بحث قرار گرفته است-یکی از اصولی که در مورد مشکل سزار در § 3 در زیر آن برمی گردیم- اصل دستورالعمل ها :

${\ sf DP}: (\ forall l_1) (\ forall l_2) [d (l_1) = d (l_2) \ leftrightarrow l_1 \ parallel l_2]$

که در آن $l_1$ و $l_2$ متغیرهای شخص را بر (راست) خطوط ، $x \ موازی y$ رابطه موازی است ، و $d (\ xi)$ یک اپراتور انتزاع خطوط نقشه به جهت خود است. بنابراین ، کمی غیر رسمی تر ، این اصل چیزی شبیه به این می گوید:

برای هر دو خط $l_1$ و $l_2$ ، جهت $l_1$ یکسان است به جهت $l_2$ اگر و فقط اگر $l_1$ موازی با آن $l_2$ باشد.

در جهت خواندن انتزاعی ، اصل راهنمای جهت مفهوم را معرفی کنید و به اشیاء دسترسی داشته باشید که تحت این مفهوم قرار گرفته اند – یعنی جهت – از طریق انتزاع به من می خواهد. ما کلاس خط مستقیم به کلاس های معادل تقسیم می کنیم ، جایی که هر کلاس معادل مجموعه ای از خطوط موازی است (و هر خط موازی با خط یکی از این کلاس ها خود را در کلاس است) ، و سپس اشیاء شروع – جهت ها – را بدست می آوریم. با اعمال عملگر انتزاع $d (x)$ بر روی یک خط و در نتیجه جهت آن خط (که همان شیء جهت هر خط دیگر در همان کلاس معادل خطوط موازی خواهد بود) انجام شد.

اکنون باید آشکار شود که اصل مسیرها اولین اصل انتزاعی نیست که ما در این مقاله مشاهده کرده ایم: اصل نسبت نیز یک اصل انتزاعی است که در قرائت انتزاعی ، نسبت مفهوم را معرفی $x: y$ می کند و عملگر انتزاعی آن به ما ارائه می دهد. با اجسام جدیدی که تحت این مفهوم قرار می گیرند.

جهت اصل شامل یک شیء یگانی اپراتور انتزاع $d (x)$ : این است که ، اپراتور انتزاع در جهت اصل نقشه اشیای منحصر به فرد (این است که ، خطوط فرد) به خلاصه خود (این است که ، جهت خود را). اصل نسبت کمی پیچیده تر است. این شامل یک عملگر انتزاعی شیء دوتایی است : عملگر انتزاع جفت اشیا (یعنی اندازه اندازه) را به آنها (به نسبت آن جفت) ترسیم می کند. اما جهت اصل و نسبت اصل این نقاط مشترک زیادی : استدلال و یا استدلال اپراتور انتزاع هستند objectual- آنها اشیاء می باشد.

با این حال ، معلوم می شود که بسیاری از بحث های فلسفی اصول انتزاع بر یک اصل متفاوت و بسیار قوی تر از انتزاع متمرکز شده است – اصول انتزاعی مفهومیبه یک اصل انتزاعی مفهومی ، عملگر انتزاع نه یک شی یا دنباله اشیا ، آیا یک مفهوم (یا رابطه ، یا دنباله ای از مفاهیم و روابط و غیره) را به عنوان استدلال خود در نظر می گیرم. در اینجا ، ما از اصطلاح “مفهوم” به معنای فرگه استفاده کرد ، جایی که مفاهیم مشابه خواص هستند و هر چه متغیرهای درجه یک درجه دوم هستند ، زیرا در میان دلایل دیگر ، این اصطلاحاتی است که از آنها استفاده می کنند. ادبیات فلسفی در مورد انتزاع گرایی خواننده ای که از این استفاده می کند ناراحت است که می توانم به طور یکنواخت در طول مدت باقی مانده این مقاله “ویژگی” را قدرتین “مفهوم” کند.

بنابراین ، یک اصل انتزاعی مفهومی برای شکل گیری آن نیاز به منطق مرتبه بالاتری دارد-برای درمان جامع منطق مرتبه دوم و بالاتر ، ببینید (شاپیرو 1991). ساده ترین نوع اصل انتزاعی مفهومی ، و حسی که در این مقاله توجه خود را به آن محدود می کنیم ، اصول انتزاعی مفهومی یکپارچه فرم هستند:

${\ sf A} _E: (\ forall X) [\ forall Y) [ @(X) = @(Y) \ leftrightarrow E (X، Y)]$

که در آن $ایکس$ و $و$ متغیرهای مرتبه دوم اعم مفاهیم بیش از یگانی هستند، و $E (X ، Y)$ یک رابطه هم ارزی در مفاهیم است.

دو اصل انتزاعی مفهومی که بسیار شناخته شده و مورد مطالعه قرار گرفته اند عبارتند از: اصل هیوم و قانون اساسی V. اصل هیوم عبارتند از:

${\ sf HP}: (\ forall X) [\ forall Y] [\#(X) = \#(Y) \ leftrightarrow X \ approx Y]$

جایی که $X \ تقریبا Y$ ادعای کاملاً منطقی مرتبه دوم مبنی بر وجود یک به یک در نگاشت از $ایکس$ to را مخفف می کند $و$ ، یعنی:

$\ begin {align*} F \ approx G = _ {df} (\ R R (y))) \\ \ land \ & (\ forall x) (G (x) \ rightarrow (\ موجود است! y) (F (y) \ land R (y، x))]] \ end {align* }$

اصل هیوم مفهوم شماره اصلی و اعداد اصلی را که تحت این مفهوم قرار می گیرند معرفی می کند. قانون اساسی V عبارت است از:

${\ sf BLV}: (\ forall X) [\ forall Y) [\ S (X) = \ S (Y) \ leftrightarrow (\ forall z) (X (z) \ leftrightarrow Y (z))]$

که (ادعا می کند) مجموعه یا بسط مفهومی را معرفی می کند . همانطور که در بخش بعدی خواهیم دید (و همانطور که در نظرات پرانتز در جمله قبلی اشاره شده است) ، یکی از این اصول انتزاعی قطعاً کار بهتری نسبت به دیگری دارد.

همانطور که قبلاً نیز اشاره شد ، اگرچه فرایند انتزاع یکی از دغدغه های اصلی فلسفی از زمانی است که فیلسوفان درباره ریاضیات فکر کردند ، انتزاع گرایی تنها زمانی مطرح شد که اصول انتزاعی مطرح شد. و اگر چه او بود اول به استفاده از آنها دوباره، و (Mancosu 2016) -این در کار گوتلوب فرگه در اواخر 19 است ^هفتم قرن است که اصول انتزاعی ساخته شده برای اولین بار تبدیل شدن به یک معضل عمده در فلسفه ریاضیات، و منطق گرایی فرگه اولین دفاع از یک نسخه کامل از انتزاع گرایی است. بنابراین ، اکنون به فرگه می پردازیم.

3. منطق فرگه

نسخه فرگه از انتزاع گرایی (به اندازه کافی مناسب ، همانطور که دید) با منطق گرایی می توان تبدیل شد. انگیزه اولین پروژه دفاع از حساب و تجزیه و تحلیل واقعی و پیچیده (اما جالب این است که نه هندسه) از اتهام کانت که این حوزه های ریاضیات به طور پیش بینی شده و در حال حاضر مصنوعی بودند (کانت 1787/1999). بخش عمده ای از دفاع فرگه از منطق گرایی در سه کتاب بزرگ او رخ داد که می توانم آنها را به شرح زیر خلاصه کرد:

Begriffsschrift یا Concept Script (Frege 1879/1972): فرگه منطق مرتبه بالا مدرن را ابداع می کند.
Die Grundlagen Der Arithmetic ، یا مبانی حساب (Frege 1884/1980): فرگه روایت های متداول در مورد ماهیت ریاضیات را مورد انتقاد قرار داد و نمایشی غیررسمی از منطق گرایی خود ارائه داد.
Grundgesetze der Arithmetik یا قوانین اساسی حساب (Frege 1893/1903/2013): فرگه جزئیات فلسفی منطق خود را بیشتر توسعه می دهد و مشتقات رسمی قوانین حساب را در بسط منطق Begriffsscrift انجام می دهد .

در اینجا ما بازسازی منطق گرایی فرگه را بر اساس Grundlagen و Grundesetze مورد بررسی قرار می دهیم . با این حال ، باید توجه داشت که تفاوت های ظریفی بین پروژه ای که به طور غیررسمی در Grundlagen شرح داده شده است و پروژه ای که به طور رسمی در Grundgesetze انجام شده است وجود دارد ، تفاوت هایی که در اینجا بیشتر آنها را نادیده می گیریم. برای بحث در مورد برخی از این تفاوت ها ، به (Heck 2013) و (Cook & Ebert 2016) مراجعه کنید. ما همچنین این بازسازی را در فرمالیسم منطقی معاصر انجام خواهیم داد ، اما باید توجه داشت که سیستم منطقی فرگه از نظر جنبه های مهم با منطق مرتبه بالاتر معاصر متفاوت است. برای بحث در مورد برخی از این تفاوت ها ، به (هک 2013) و (کوک 2013) مراجعه کنید.

همانطور که اشاره شد ، هدف اصلی فرگه این بود که استدلال کند که حساب تحلیلی است. درک فرگه از تمایز تحلیلی / ترکیبی ، درست مانند روایت او از تمایز apriori / a posteriori ، دارای طعم معرفتی قطعی است:

اکنون این تمایزات بین پیشینی و پسینی ، ترکیبی و تحلیلی ، نه به محتوای داوری بلکه به توجیه قضاوت مربوط می شود. در جایی که چنین توجیهی وجود نداشته باشد ، امکان ایجاد تمایزها از بین می رود. بنابراین یک اشتباه پیشینی به اندازه یک مفهوم آبی مانند یک مزخرف کامل است. وقتی گزاره ای را پسینی می نامندیا به تعبیر من تحلیلی ، این قضاوتی در مورد شرایط روانی ، فیزیولوژیکی و جسمی نیست که امکان شکل گیری محتوای گزاره را در آگاهی ما فراهم کرده است. و همچنین قضاوتی در مورد روشی که برخی دیگر از مردم احتمالاً به اشتباه به آن اعتقاد داشته اند درست است. بلکه قضاوت در مورد زمینه نهایی است که بر اساس آن توجیه می شود که آن را درست می دانند. (Frege 1884/1980 ، § 3)

به طور خلاصه ، از نظر فرگه ، ادعایی تحلیلی یا مصنوعی بودن ، پیشینی یا پسینی ، به نوع توجیهی بستگی دارد که مناسب است برای آن قضاوت (یا قضاوت هایی از این دست) ارائه شود. فرگه جزئیات مربوط به دقیقاً چه نوع توجیهی برای تجزیه و تحلیل و غیرطبیعی بودن مورد نیاز است را در همان قسمت پر می کند:

مشکل در حقیقت یافت شد اثبات گزارش و پیگیری آن به حقایق اولیه است. اگر در اجرای این فرایند ، فقط از قوانین منطقی عمومی و تعاریف استفاده کنیم ، حقیقت یک امر تحلیلی است ، با در نظر گرفتن این که ما باید همه را پیش بینی کنیم که می توان پذیرفت هر یک از تعاریف به آنها نیاز دارد در نظر بگیریم به اگر به هر حال ، بدون استفاده از حقایقی که از ماهیت منطقی عام توسعه یافته است ، اما مربوط به برخی از علوم خاص هستند ، نمی توانیم اثبات کرد ، این گزارش یک پیشنهاد ترکیبی است. برای اینکه حقیقتی پسینی باشد ، ساخت اثبات آن بدون درنظرگرفتن حقایق ، یعنی حقایقی است كه می تواند اثبات كند و كلی را ، غیرممكن است ، زیرا ادعاهایی در مورد اشیاء خاص هستند. اما اگر برعکس ، اثبات آن را می توانم منحصراً از قوانین کلی استخراج کرد ، که خودشان نیازی به اثبات اثبات داشتند ، حقیقت به طور پیش بینی شده است.(Frege 1884/1980 ، 3 پوند)

بنابراین ، از نظر فرگه ، یک قضاوت در رنگ تحلیلی است که فقط و فقط در صورتی که دارای مدرکی هستید که فقط به قوانین و تعاریف منطقی بستگی دارد ، و قضاوت پیش فرض است اگر و تنها در صورتی که اثبات شده باشد فقط به حقایق بدیهی و کلی وابسته است. به همه قوانین و تعاریف منطقی حقایق کلی بدیهی هستند ، اما نه برعکس. این واقعیت را که قبلاً ذکر شد ، توضیح دهید که فرج منطق خود را در مورد هندسه کاربردی نمی داند. از نظر فرگه ، هندسه بر حقایق کلی بدیهی در مورد ماهیت فضا تکیه می کرد ، اما این حقایق نه حقیقت منطقی بود و نه تعاریف-از این رو هندسه به صورت پیش بینی ، اما تحلیلی نبود.

بنابراین ، استراتژی فرگه در رد ادعای کانت مبنی بر اینکه علم حساب ترکیبی است ساده بود: منطق (و هر چیزی که از منطق به علاوه تعاریف مشتق می شود) تحلیلی است ، بنابراین ، اگر حساب را به منطق تقلیل دهیم ، نشان خواهیم داد که حساب بالاخره تحلیلی است (و به طور مشابه برای تجزیه و تحلیل واقعی و پیچیده ، و غیره).

با این حال ، قبل از پرداختن به جزئیات فرج برای دستیابی به این کاهش حسابی به منطق ، چند نکته روشن است. اول ، همانطور که در زیر دیدید ، همه نسخه های انتزاعی نسخه منطقی گرایی استفاده کردند ، زیرا همه نسخه های انتزاعی گرایی اصول انتزاعی را حقیقت منطق نمی دانند. معکوس همچنین ناموفق است: همه نسخه های منطقی گرایی نسخه های انتزاعی نیست: (Tennant 1987) شامل یک درخواست سازنده و اثبات گرایانه جذاب برای تبدیل حساب به منطق است ، اگر شامل عملگرهایی است که شبیه به عملگر انتزاعی ما هستند. $\#(ایکس)$ ، با این وجود هیچ اصل انتزاعی را شامل نمی شود. دوم ، هدف اصلی اصلی فرگه نه این بود که نشان داد که حساب منطقی است و نه نشان داد که می توانم از طریق انتزاع به طور کلی یا از طریق اصول انتزاعی به طور خاص ، پایه ای را ایجاد کرد. هدف اصلی این بود که نشان داد که حساب ، برعکسکانت ، تحلیلی است و استفاده از اصول انتزاعی و هم دفاع از این اصول به عنوان حقایق منطقی ، تنها بخشی از این پروژه بوده است. توجه به این تمایزها نه تنها به این دلیل که مهم هستند ، اما به این دلیل است که اصطلاحات دیدگاه های مختلفی را که زیر چتر انتزاع گرایی قرار می گیرد همیشه به طور مستقیم دقیق (برای مثال منطق نئو یک “جدید” نسخه نسخه منطقی گرایی نیست )

نیمه اول Grundlagen به رد بی دریغ فرگه در مورد تعدادی از دیدگاه های فعلی در مورد ماهیت موجودات ریاضی و ابزارهایی که از طریق آنها دانش ریاضی به دست می آوریم اختصاص داده شده است ، از جمله دیدگاه های لایب نیتس ، میل و کانت. در حالی که این انتقادات هم سرگرم کننده است و هم تا حد زیادی قانع کننده است ، این نظرات مختصر فرگه در مورد هیوم است که بیشترین اهمیت را برای اهداف ما دارد. فرگه در بحث خود درباره هیوم ، یک اصل را برای او بد قضاوت می کند که هم در پروژه خودش و هم در برنامه های بعدی منطق گرایان مورد بحث قرار می گیرد-اصل انتزاعی (که به طور گمراه کننده ای به عنوان اصل هیوم شناخته می شود).

آ. اصل هیوم و قضیه فرگه

فرگه با اشاره به این نکته که اصل هیوم در چند جهات به عنوان یک تعریف بالقوه از مفهوم شماره اصلی بسیار امیدوار کننده به نظر می رسد ، شروع کنم . اول ، علیرغم این واقعیت که این اصل انتزاعی احتمالاً چیزی نیست که هیوم در نوشتن آن داشت:

وقتی دو عدد آنقدر با هم می شوند که یکی همیشه واحدی دارد که به هر واحد دیگری پاسخ می دهد ، آنها را برابر می خوانیم. و به دلیل فقدان چنین استاندارد برابری است که هندسه را می توانم کمی بدانم و آن را یک علم کامل و خطاناپذیر دانست. (هیوم 1888) [i.3.1]

با این وجود به نظر می رسد که اصل هیوم یک ایده قابل قبول در مورد ماهیت شماره اصلی را مدون می کند: دو عدد $n$ و $متر$ اگر و تنها در صورتی یکسان هستند که برای هر دو مفهوم $ایکس$ و $Y$ جایی که تعداد $ایکس$ s $n$ و تعداد $Y$ s است $متر$ ، یکی وجود داشته باشد. یکی روی نقشه از $ایکس$ s به $Y$ s. دوم ، و مهمتر از همه برای اهداف ما ، اصل هیوم ، بعلاوه برخی از تعاریف صریح که بر اساس منطق مرتبه بالاتر و عملگر انتزاع تدوین شده است $\#$ ، به ما اجازه می دهد تا همه بدیهیات مرتبه دوم حساب پانو را اثبات کنیم:

بدیهیات ددکیند-پانو :

$\ mathbb {N} (0)$
$\ neg (\ x وجود دارد) (P (x، 0))$
$(\ forall x) (\ mathbb {N} (x) \ rightarrow (\ y وجود دارد) (\ mathbb {N} (y) \ land P (x، y)))$
$(\ forall x) (\ forall y) [\ forall z) ((P (x، z) \ land P (y، z)) \ rightarrow x = y)$
$(\ forall F) [F (0) \ land (\ forall x) (\ forall y) ((F (x) \ land P (x، y)) \ rightarrow F (y)) \ rightarrow (\ forall x ) (\ mathbb {N} (x) \ rightarrow F (x))]$

ما می توانیم بدیهیات Peano را کمی غیر رسمی تر به صورت زیر بیان کنیم:

صفر یک عدد طبیعی است.
هیچ عدد طبیعی سلف صفر نیست.
هر عدد طبیعی پیش از یک عدد طبیعی است.
اگر دو عدد طبیعی پیش از یک عدد طبیعی باشند ، آنگاه یکسان هستند.
هر خاصیتی که دارای صفر است و دارای یک عدد طبیعی است اگر دارای پیشینی آن عدد طبیعی باشد ، از همه اعداد طبیعی برخوردار است.

تعاریف صفر ، رابطه پیشین و محمول عدد طبیعی برای بازسازی حساب فرگه از اهمیت حیاتی برخوردار است. تعاریف صفر و رابطه پیشین $P (x ، y)$ نسبتاً ساده است. صفر فقط شماره اصلی مفهوم خالی است:

$0 = _ {df} \#(x \ neq x)$

رابطه سلف است تعریف می شود:

$P (a، b) = _ {df} (\ F موجود است) (\ y وجود دارد] [b = \#(F (x)) \ land F (y) \ land a = \#(F (x) \ زمین x \ neq y)]$

بنابراین ، $پ$ بین دو جسم $آ$ و $ب$ ( $آ$ یعنی سلف آن $ب$ ) نگه داشته می شود ، فقط در صورتی که مفاهیم $اف$ و مفعولی $y$ در زیر $اف$ آن قرار $ب$ بگیرند كه عدد اصلی $اف$ (یعنی تعداد $اف$ s) است و عدد $آ$ اصلی از مفهوم است كه دقیقاً شامل اشیایی است كه $اف$ از آنها را است ، به جز $y$ (یعنی این تعداد $اف$ s است که استفاده $y$ ).

$\ mathbb {N}$ با این حال ، ساختن تعریف مفهوم عدد طبیعی تا حدود پیچیده تر است. اول، باید مفهوم ما ارثی $F (x)$ بودن مفهوم را م، رابطة تعریف کنیم : $R (x ، y)$

${\ sf Her} [F (x)، R (x، y)] = _ {df} (\ forall x) (\ forall y) ((F (x) \ land R (x، y)) \ rightarrow F (y))$

به طور مستقیم ، $F (x)$ ارثی در صورت $R (x ، y)$ و تنها اگر هر زمان که ما دو جسم $آ$ و $ب$ ، اگر $آ$ سقوط در مفهوم $F (x)$ ، و است $آ$ مربوط $R$ به $ب$ ، و سپس $ب$ باید تحت سقوط است $F (x)$ .

در مرحله بعد ، فرگه از وراثت برای تعریف نیاکان ارتباط قوی استفاده کنید $R (x ، y)$ :

$R^*(a، b) = _ {df} (\ forall F) [({\ sf Her} [F (x)، R (x، y)] \ land (\ forall x) (R (a، x) \ rightarrow F (x))) \ rightarrow F (b)]$

تعريف حيثيت بسيار تأثيرگذار است، اما ايده آن ساده است: با توجه به يك رابطه $R$ ، جد جد قوي $R$ يك رابطة دوم .. :: است $R^*$ كه $R^*$ بين دو شيء برقرار است و وبلاگ اگر و فقط وبلاگ اگر اينها دنباله اي از ظهر اشيا باشند: $آ$ $ب$

$a ، c_1 ، c_2 ، \ نقاط ، c_n ، ب$

به طوری که:

$R (a، c_1) ، R (c_1، c_2) ، R (c_2، c_3) ، \ نقاط ، R (c_ {n-1} ، c_n) ، R (c_n ، b)$

این عمل به دلایلی اجدادی نامیده می شود: رابطه ای که بین خود و نیاکان خود برقرار است ، نیاکان رابطه پدر و مادر است.

برای اهداف فرگه ، تصور کمی ضعیف تر – اجداد ضعیف – کمی راحت تر به نظر می رسید:

$R^{*=} (a ، b) = _ {df} R^*(a، b) \ lor (a = b)$

ضعیف سرزمین آبا و اجدادی رابطه $R$ دارد بین دو شیء $آ$ و $ب$ فقط در مورد هر یک از سرزمین آبا و اجدادی قوی می کند، یا $آ$ و $ب$ یکسان هستند. به مثال شهودی شجره نامه ای خود برمی گردیم ، تفاوت بین اجداد ضعیف و اجداد قوی رابطه پدر و مادر این است که اجداد ضعیف بین هر شخص و خودشان وجود دارد. بنابراین ، این نیاکان قوی است که با مفهوم روزمره جد بیشترین تطابق دارد ، زیرا ما معمولاً نمی گوییم کسی جد خودشان است.

در نهایت ، ما می توانیم اعداد طبیعی را آن دسته از اشیاء تعریف کنیم $آ$ که اجداد ضعیف رابطه پیشین بین صفر و $آ$ :

$\ mathbb {N} (a) = _ {df} P^{*=} (0 ، a)$

به عبارت دیگر ، یک شی یک عدد طبیعی است اگر و فقط اگر یا 0 باشد ، یا 0 سلف قبلی آن باشد (یعنی 1 باشد) ، یا صفر سلف قبلی خود باشد (یعنی 2 باشد) ، یا 0 سلف قبلی سلف خود است (یعنی 3 است) و غیره.

شایان ذکر است که همه این کارها که مفهوم عدد طبیعی را تعریف می کند ، در واقع ضروری است. ممکن است در نگاه اول فکر کنیم که ما فقط می توانیم مفهوم زیر از شماره اصلی را در نظر بگیریم:

$C (a) = _ {df} (\ Y وجود دارد) (a = \#(Y (x))$

و به جای موارد بسیار پیچیده تر از آن استفاده کنید $\ mathbb {N} (x)$ . با این حال ، این کار نمی کند: از آنجا که اصل هیوم شامل همه بدیهیات پانو برای حساب است ، بنابراین مستلزم وجود بی نهایت تعداد اشیا (از آنجا که بی نهایت تعداد طبیعی وجود دارد) است. از این رو یک عدد اصلی وجود دارد-یعنی جسمی که زیر $C (x)$ آن قرار می گیرد-که یک عدد طبیعی محدود نیست ، یعنی ضد صفر ، عدد مفهوم جهانی (اصطلاح “ضد صفر” ناشی از (Boolos 1997)) :

$\ امگا = _ {df} \#(x = x)$

بی نهایت اعداد کاردینال مانند ضد صفر اصول Peano را برآورده نمی کند (به عنوان مثال ضد صفر پیشین خود است) ، بنابراین ، اگر بخواهیم بر اساس اصل هیوم حساب انجام دهیم ، باید توجه خود را به این اعداد محدود کنیم $\ mathbb {N} (x)$ به

در Grundlagen Frege شواهدی ارائه می شود که با توجه به این تعاریف ، ما می توانیم بدیهیات Peano را اثبات کنیم ، و او را با قدرت رسمی کامل در Grundgesetze انجام داد . این نتیجه، که یک نتیجه ریاضی قابل توجه است، فارغ از اهمیت آن در گزارش های انتزاعی از مبانی ریاضیات ، عنوان به قضیه فرگه شناخته شده است . مشتق اصطلاحات Peano از اصل هیوم به افزایش این تعاریف جدید و پیچیده است ، و ما آن را در اینجا ارائه نمی دهیم. خواننده ای که علاقمند به بازسازی و بحث در مورد اثبات قضیه فرگه است ، باید (رایت 1983) ، (Boolos 1990a) ، (Heck 1993) و (Boolos & Heck 1998) مشورت کند.

ب اصل هیوم و مشکل سزار

همه اینها تا کنون بسیار امیدوار کننده به نظر می رسد. ما یک اصل انتزاعی داریم که مفهوم c ardinal را معرفی می کند (و همانطور که در تعاریف ما در بالا نشان داد ، زیر مفهوم n تعداد طبیعی ) ، و این اصل انتزاعی مستلزم یک نسخه کاملاً قوی (مرتبه دوم) از بدیهیات استاندارد برای حساب است. به علاوه بر این ، اگرچه فرگه این را اثبات نکرد ، اما اصل هیوم ثابت است. ما می توانیم یک مدل ساده را به شرح زیر بسازیم. اجازه دهید دامنه اعداد طبیعی باشد $\ mathbb {N}$ و سپس عملگر انتزاع را $\#$ به شرح زیر تفسیر کنید :

$\#(P) = \ begin {case} n + 1 ، و \ text {اگر $ P $ دارای $ n $-تعداد زیادی شی در $ \ mathbb {N} $} \\ 0 ، و \ text {در غیر این صورت ( یعنی اگر $ P $ دارای بی نهایت شی در $ \ mathbb {N} $) باشد.} \ end {case}$

این استدلال ساده را می توان گسترش داد تا نشان دهد که اصل هیوم دارای مدلهایی است که دامنه آنها $\ کاپا$ برای هر کاردینال نامحدود اندازه دارد $\ کاپا$ (Boolos 1987). بنابراین ، اصل هیوم به نظر می رسد نامزد خوبی برای تعریف انتزاعی از مفهوم عدد اصلی است .

اما فرگه این ایده را که اصل هیوم می تواند به عنوان تعریفی از عدد اصلی باشد ، رد کرد . این به این دلیل نبود که او نگران بود که اصل هیوم درست نباشد یا حتی آنکه تحلیلی نباشد. برعکس ، همانطور که در زیر خواهیم دید ، فرگه سرانجام نسخه ای از اصل هیوم را از سایر اصول اثبات می کند که او به عنوان حقیقت منطقی ، و در نتیجه تحلیلی می داند. بنابراین ، نسخه اثبات شده اصل هیوم (در صورت موفقیت پروژه فرگه) وارث تجزیه و تحلیل اصولی است که برای اثبات آن استفاده می شود.

فرگه به جای اصل هیوم به عنوان یک تعریف از مفهوم رد عدد کاردینال به دلیل آن چه سوال در مورد که در آن اشیاء خاص اعداد حل و فصل نیست می -questions که، در نظر فرگه، یک تعریف مناسب باید حل و فصل. به طور خاص ، اگرچه اصول انتزاعی معیاری را برای تعیین اینکه آیا دو چکیده از یک نوع – یعنی دو چکیده معرفی شده توسط یک اصل انتزاعی – یکسان هستند یا خیر ، ارائه می دهند ، اما در مورد اینکه آیا یا چه زمانی چکیده ای که با یک اصل انتزاعی معرفی می شود ممکن است مشابه شیئی باشد که با وسایل دیگر معرفی شده است. فرگه با توجه به اصل هیوم این مشکل را به شرح زیر مطرح می کند:

به به به اما ما هرگز نمی توانیم – با در نظر گرفتن یک مثال خام – با استفاده از تعاریف خود تصمیم بگیریم که آیا در هر مفهومی عدد ژولیوس سزار متعلق به آن است یا اینکه آن فاتح گال یک عدد است یا نه. (Frege 1884/1980 ، §55)

و دوباره به مسئله باز می گردد و اشاره می کند که اصل دستورالعمل بهتر نیست:

به عنوان مثال ، برای ما تصمیم نخواهد گرفت که آیا انگلستان با جهت محور زمین یکی است یا نه ، اگر ممکن است مثالی را ببخشم که به نظر غیر منطقی می آید. طبیعتاً هیچ کس قرار نیست انگلستان را با جهت محور زمین اشتباه بگیرد. اما این به لطف تعریف ما از جهت نیست. (Frege 1884/1980 ، 66)

قسمت قبلی باعث شده است که این مشکل به عنوان مشکل سزار شناخته شود .

ریشه مشکل سزار این است. اگرچه اصول انتزاعی معیارهایی را برای تسویه هویت بین جفت اصطلاحات انتزاعی از یک نوع ارائه می دهد – از این رو اصول هیوم معیاری برای تسویه هویت فرم ارائه می دهد:

$\#(F) = \#(G)$

برای هرگونه مفاهیم $اف$ و $G$ – اصول انتزاعی هیچ راهنمایی برای حل و فصل هویت ها که در آن یکی از اصطلاحات یک اصطلاح انتزاعی نیست ارائه نمی دهد. به طور خلاصه ، و با استفاده از مثال مورد علاقه ما ، اصل هیوم هیچ راهنمایی برای حل و فصل هویت فرم ارائه نمی دهد:

$t = \#(F)$

جایی که $t$ یک اصطلاح انتزاعی نیست (بنابراین $t$ ممکن است یک نام روزمره مانند “انگلستان” یا “ژولیوس سزار” باشد). هر دو:

$t = \#(F)$

و:

$t \ neq \#(F)$

می تواند به طور مداوم به اصل هیوم اضافه شود (هرچند بدیهی است که هر دو به طور همزمان).

نگرانی فرگه در اینجا این نیست که ، در نتیجه این ، ما می پرسیم آیا واقعاً عدد هفت با ژولیوس سزار یکسان است؟ همانطور که او اشاره می کند ، ما می دانیم که اینطور نیست. مشکل این است که تعریف کافی از مفهوم عدد طبیعی باید این را به ما بگوید ، و اصل هیوم در این مورد قضاوت نمی کند.

که می شود گفت، نگرانی فرگه کند از تفکر است که تعریفی از مفهوم ریاضی باید پاسخ بنیادی نیست همه سوال در مورد آن مفهوم (بعد از همه، تعریف عدد کاردینال نباید انتظار داشت که به ما بگویند چه عدد کاردینال مورد علاقه فرگه بود). بلکه فرگه در اینجا نگران این ایده است که تعریف مناسب از یک مفهوم ، از جمله موارد دیگر ، باید بین مواردی که تحت این مفهوم قرار دارند و آنهایی که این مفهوم را ندارند ، مرز تمیزی ایجاد کند – یعنی تعریف یک مفهوم ریاضی باید تعیین انواعاشیایی که تحت آن مفهوم قرار گرفتم. اصل هیوم این کار را انجام نمی دهد و بنابراین نمی توان به عنوان تعریف درستی از مفهوم مورد نظر عمل کرد. ما در بحث خود در مورد منطق نئو در زیر به طور کلی مختصر در مورد سزار برمی گردیم. اما ابتدا باید به پاسخ فرگه نگاه کنیم.

ج اصل هیوم و قانون اساسی V

از آنجا که فرگه این ایده را که اصل هیوم می تواند به عنوان عددی اصلی عمل کند ، رد کرد ، اما قدرت و سادگی را که بازسازی حساب پانو بر اساس اصل هیوم ارائه می دهد ، درک کرد ، وی یک استراتژی هوشمندانه ارائه داد: ارائه یک تعریف صریح از شماره اصلی که به اصول قبلاً پذیرفته شده و درک شده بستگی دارد ، و سپس با استفاده از آن اصول و تعریف صریح مورد بحث ، اصل هیوم را استخراج کنید.

در نتیجه ، دو جزء اصلی در گزارش نهایی فرگه از شماره اصلی مفهوم وجود دارد . اولین مورد ، تعریف صریح زیر از مفهوم مورد بحث است (توجه داشته باشید که “برابر” در اینجا نشان دهنده یکسان بودن است ، نه هویت):

بنابراین تعریف من به شرح زیر است:

عددی که به مفهوم تعلق دارد ، بسط مفهوم “برابر مفهوم ” است. (Frege 1884/1980 ، §68) $اف$ $اف$

بنابراین ، تعریف فرگه از اعداد اصلی مشخص می کند که اعداد اصلی نوع خاصی از پسند هستند. اما به طور کلی ، تا زمانی که ما چیزی در مورد برنامه های اضافی ندانیم ، چندان مفید آماده بودیم. بنابراین ، دومین عنصر اصلی در حساب ، یک اصل است که بر مفاهیم به طور کلی حاکم است – اصلی که قبلاً مشاهده شده است: قانون اساسی پنجم.

ما باید در اینجا مکث کنیم تا توجه داشته باشیم که نسخه اصلی V که Frege در Grundgesetze استفاده کرد ، پسوندها را به مجموعه ای اختصاص داده نمی شود ، اما در محدوده مقدار زیاد به توابع اختصاص دهید . بنابراین ، یک راه بهتر (اما هنوز کمی ناهماهنگ) برای نشان دادن نسخه فرگه از این اصل چیزی شبیه به موارد زیر است:

$(\ forall f) (\ forall g) [\ S (f) = \ S (g) \ leftrightarrow (\ forall z) (f (z) = g (z))]$

که در آن قرار گرفته $f$ و $گرم$ بر روی توابع unary از اشیاء تا اشیاء قرار دارد. از آنجا که فرگه تصور می کرد که مفاهیم یک مورد خاص از توابع هستند (به ویژه ، یک مفهوم یک تابعی است که هر شی را به درست یا نادرست ترسیم می کند ) ، نسخه مفهومی قانون اساسی V که در § 1 فوق ارائه شده است ، مورد خاصی است. قانون اساسی فرگه بنابراین ، ما در اینجا و در زیر با نسخه مفهومی کار خواهیم کرد ، زیرا (i) این امر به بحث فرگه اجازه می دهد تا در بخش بعدی با بحث ما در مورد منطق نئو هماهنگ تر شود و (2) هر گونه تناقض از یک مورد خاص یک اصل کلی نیز مشتق از تناقض از خود اصل کلی است.

با توجه به قانون اساسی V ، می توانیم تعریف فرگه از شماره اصلی را به صورت زیر رسمی ایجاد کنیم:

$\#(F) = _ {df} \ S ((\ وجود دارد Y) (x = \ S (Y) \ land Y \ approx F))$

$\ S$ عملگر انتزاع در قانون اساسی V کجا یافت می شود ، که هر مفهوم را به فرمت آن ترسیم می کند. به عبارت دیگر ، از نظر فرگه ، شماره اصلی متناظر با یک مفهوم ، بسط (یا “در محدوده ارزش” ، در اصطلاحات فرگه) مفهومی است که از یک شیو استفاده استفاده می کند ، در صورتی که بسط یک مفهوم برابر باشد. به . $اف$ $ایکس$ $اف$

فرگه به طور غیررسمی مدرکی را که اصل هیوم از قانون اصلی V به این تعریف در Grundlagen نشسته است ، ترسیم می کند و مدارک رسمی کامل را در Grundgesetze ارائه می دهد . برای بحث دقیق در مورد این نتیجه ، به (هک 2013) مراجعه کنید. بنابراین ، قانون اساسی V به صورت بیشتر از شماره اصلی شامل اصل هیوم است ، که در آن (با چند تعریف صریح تر) شامل محاسبات کامل درجه دوم Peano می شود. پس چه اشکالی داشت؟ چرا همه ما منطق پرداز فرگی نیستیم؟

د قانون اساسی V و پارادوکس راسل

قبل از اینکه واقعاً اشتباه شده است نگاه بیندازید ، باید از نگرانی احتمالی که ممکن است در این مرحله وجود داشته باشد دوری کنید. همانطور که قبلاً ذکر شد ، فرگه اصل هیوم را به عنوان تعریف عدد اصلی به دلیل مشکل سزار رد کرد. اما قانون اساسی پنجم ، مانند اصل هیوم ، یک اصل انتزاعی است. و با توجه به هر اصل انتزاعی:

${\ sf A} _E: (\ forall X) [\ forall Y) [ @(X) = @(Y) \ leftrightarrow E (X، Y)]$

اگر سازگار باشد ، هیچ کدام را شامل نمی شود: ${\ sf A} _E$ ${\ sf A} _E$

$t = \ S (F)$

نه:

$t \ neq \ S (F)$

(جایی که اصطلاح انتزاعی نیست). از آنجا که فرگه آشکارا معتقد بود قانون اساسی V سازگار است ، همچنین باید بدانید كه این قانون نمی تواند انواع ادعاهای هویت را كه به اصل اصل هیوم از سوی وی تبدیل شد ، برطرف كند. بنابراین ، آیا فرگه نمی خواهد به همان دلایل قانون اساسی V را رد کند؟ $t$

پاسخ “نه” است و دلیل آن نیز ساده است: فرگه قانون اساسی V را به عنوان تعریفی از Extension در نظر نگرفت . همانطور که اشاره شد ، به دلیل مشکل سزار ، او نتوانست. در عوض ، فرگه فقط ادعا می کند که قانون اساسی V دقیقاً همان است – یک قانون اساسی ، یا یک اصل اساسی از منطقی که او در Grundgesetze توسعه می دهد . فرگه هرگز تعریفی از فرمت ارائه نمی دهد و به نظر می رسد که تصور می کند که تعریفی از این مفهوم لازم نیست. به عنوان مثال ، در پایان پاورقی در Grundlagen که نشان می دهد ، در تعریف عدد اصلی ذکر شده در بالا ، می توانیم “بسط یک مفهوم” را فقط با “مفهوم” جایگزین کنیم ، می گوید:

من فرض می کنم که معلوم است که بسط یک مفهوم چیست. (Frege 1884/1980 ، §69)

بنابراین ، این دلیل شکست پروژه فرگه نیست.

با این حال ، دلیل اینکه منطق فرگه در نهایت شکست خورد ، قبلاً در بحث ما در مورد قانون اساسی پنجم و مسئله سزار اشاره شده است. توجه داشته باشید که ما از طریق یک اصل انتزاعی خودسرانه (سازگار) کمی دور زدیم تا این نگرانی (بدون) را بیان کنیم. دلیل این عارضه ساده است: قانون اساسی V یکی از موارد زیر را ثابت می کند :

$t = \ S (F)$

و:

$t \ neq \ S (F)$

در واقع ، هر دو (و هر فرمول دیگری ، در این مورد) را ثابت می کند ، زیرا ناسازگار است.

در سال 1902 ، درست زمانی که جلد دوم Grundgesetze قرار شد چاپ شود ، فرگه نامه ای از منطقدان جوان انگلیسی به نام برتراند راسل کرد کرد. راسل در نامه ای از یک تناقض در سیستم منطقی Grundgesetze ترسیم کرد – یکی که ناسازگاری قانون اساسی V را به ویژه نشان می دهد. ما می توانیم استدلال را به شرح زیر بازسازی کنیم. ابتدا ، مفهوم (“راسل”) را که با محمول زیر بیان شده است در نظر بگیرید:

$R (x) = _ {df} (\ Y وجود دارد) (x = \ S (Y) \ land \ neg Y (x))$

به بیان ساده ، مفهوم راسل $R$ از یک شیء استفاده می کنم فقط در صورتی که آن شیء مفهومی باشد که در آن وجود ندارد . در حال حاضر ، بدیهی است ، اگر برنامه های اضافی به طور کامل منسجم هستند ، پس بسط این مفهوم باید یکسان باشد-یعنی: $آ$ $آ$

$\ S (R (x)) = \ S (R (x))$

که طبق آن $R$ به ما می دهد:

$\ S (R (x)) = \ S (\ Y وجود دارد) (x = \ S (Y) \ land \ neg Y (x))$

سپس قانون اساسی V را برای بدست آوردن موارد زیر اعمال می کنیم:

$(\ forall x) [R (x) \ leftrightarrow (\ Y موجود است] (x = \ S (Y) \ land \ neg Y (x))]$

یک کاربرد لحظه ای جهانی ، تغییر متغیر با ، ایجاد می کند: $ایکس$ $\ S (R (x))$

$R (\ S (R (x))) \ leftrightarrow (\ Y وجود دارد] (\ S (R (x)) = \ S (Y) \ land \ neg Y (\ S (R (x))))$

موارد زیر حقیقت منطق مرتبه افزایش است:

$\ neg R (\ S (R (x))) \ leftrightarrow (\ Y وجود دارد) ((\ forall z) (R (z) \ leftrightarrow Y (z)) \ land \ neg Y (\ S (R (x )))))$

با توجه به قانون اساسی V ، ادعای قبلی معادل موارد زیر است:

$\ neg R (\ S (R (x))) \ leftrightarrow (\ Y وجود دارد) [\ S (R (x)) = \ S (Y) \ land \ neg Y (\ S (R (x))) )$

اما اکنون ما این را با فرمول سه خط به هم می کنیم تا بدست آید:

$R (\ S (R (x))) \ leftrightarrow \ neg R (\ S (R (x)))$

تناقض آشکار

این تناقض به عنوان شناخته شده پارادوکس راسل ، و در شرایطی تا حدودی ارائه شده است NA ï ام نظریه مجموعه مستعد آن را شامل می شود ، نه اپراتور فرگه انتزاع-اصل بر اساس فرمت ، اما در نظر گرفتن مجموعه ای از تمام مجموعه که عضو هستند نیست خودشان

پس از دریافت نامه راسل ، فرگه یک جلد کلمه به جلد دوم Grundgesetze اضافه کرد ، جایی که وی نسخه اصلاح شده ای از قانون اساسی V را پیشنهاد کرد که به طور خلاصه بیان می کرد که دو مفهوم اگر و فقط در صورتی که دقیقاً از اشیاء یکسانی برخوردار باشند ، پسوند یکسانی دریافت می کنند. به جز احتمالاً در مورد پسوند (مشترک) آنها اختلاف نظر داشته باشید. این نسخه مشکلات مشابهی پیدا کرد. برای بحث خوب ، به (کوک 2019) مراجعه کنید.

اما سرانجام ، فرگه منطق گرایی را کنار گذاشت. تلاشهای دیگری برای تقلیل همه ریاضیات به منطق انجام شد که مهمترین آنها تلاش برتران راسل و آلفرد نورث وایتهد برای کاهش حسابی به یک نظریه منطقی پیچیده است که در اصول ریاضی سه جلدی آنها به عنوان نظریه نوع شکسته شناخته می شود (Russell & Whitehead 1910 /1912/1913). اما در حالی که سیستم Principia Mathematica ایده اصلی فرگه مبنی بر تقلیل ریاضیات به منطق را پذیرفت ، این کار را از طریق بسیج اصول انتزاعی انجام نداد و بنابراین تا حدودی متعارف با نگرانی های ما است. فصل اصلی بعدی در رویکردهای انتزاعی به ریاضیات تقریباً یک قرن رخ نمی دهد.

4. منطق نو

احیای انتزاع در نیمه دوم از 20 ^هفتم قرن است که به علت در هیچ بخش کوچکی از انتشار کریسپین رایت مفهوم فرگه از اعداد به عنوان اشیاء (رایت 1983)، اگر چه از نشریات دیگر از سراسر این زمان، مانند (هودز 1984) ، برخی از ایده های مشابه را بررسی کرد. در این کار رایت خاطرنشان می کند که اصل هیوم ، بر خلاف قانون اساسی پنجم ، سازگار است. بنابراین ، با توجه به قضیه فرگه ، که تضمین می کند که محاسبات پانوی مرتبه دوم کامل از اصل هیوم به علاوه تعاریفی که در قسمت گذشته ارائه شده است پیروی می کند ، اگر بتوانیم از اصل هیوم به عنوان (یا به عنوان چیزی بسیار) ، به چیزی شبیه پروژه منطق گرای اصلی فرگه برسیم. مانند) یک تعریف ضمنی از مفهوم شماره اصلیبه در مقاله ای دیگر ، رایت به این شرح اشاره می کند:

قضیه فرگه اعتماد می دهد. به به عنوان قوانین اساس حساب را می توان در یک سیستم منطق مرتبه دوم به دست آورد که با یک اصل تقویت شد و نقش آن را توضیح داد ، و نه دقیقاً مفهوم کلی هویت شماره اصلی آن است. به به وبلاگ اگر چنین اصل توضیحی. به به می می توان به عنوان تحلیلی در نظر گرفته شد ، پس از این کافی است. به به نشان دادن تحلیلی بودن حساب حتی اگر این اصطلاح نگران کننده باشد ، مانند جورج بولوس ، همچنان باقی می ماند که اصل هیوم – مانند هر اصل اصلی که به طور ضعیف به یک مفهوم خاص می پردازد – بدون پیش فرض معرفت شناختن قابل قبول توجه در اختیار خواهد بود. به به چنین مسیری معرفتی می تواند نتیجه ای باشد که هنوز ارزش توصیف أن را منطق گرایی دارد.(رایت 1997 ، 210-211)

کارهای بعدی بر روی منطق نئو بر تعدادی از چالش ها متمرکز شده است.

اولین و شاید بدیهی ترین این است که داستان به طور کامل توسعه یافته است که در آن اصول انتزاعی تعاریف ضمنی مفاهیم ریاضی هستند که نه تنها اصطلاحاتی را برای صحبت در مورد اشیاء انتزاعی مورد بحث قرار داده اند در اختیار ما قرار داده اند ، تا به مطمئن ترین می کنند که آن اشیاء وجود دارند. گزارش مورد بیشتر در مقالات فرد و مشترک توسط کرسپین رایت و باب هیل اصلاح شده است – از این مقالات در مجموعه عالی موجود است (Hale & Wright 2001a). ایده اصلی که زیربنای این رویکرد است ، اصولی به نام تزین اولویت نحوی است ، که اگرچه ریشه در آثار فرگه دارد ، اما شاید پیش بینی نشده صریح خود را در مفهوم اعداد به عنوان اشیاء توسط رایت فرگه (اما اینجا را ببینید (دامت 1956))):

وقتی تثبیت شد. به به اینکه طبقه خاصی از اصطلاحات به عنوان اصطلاحات مفرد عمل می کنند ، و هنگامی که تأیید شد که برخی از جملات مناسب حاوی آنها ، با معیارهای معمولی ، درست هستند ، پس نتیجه می گیرد که این اصطلاحات به طور واقعی اشاره دارند. (رایت 1983 ، 14)

این اصل روایت شهودی ارتباط بین اصطلاحات منحصر به فرد و اشیایی را که ادعا می شود در سر آن اشاره می کند ، تبدیل می کند. به جای توضیح اینکه یک واحد اصطلاح به چه چیزی اشاره می کند و به چه چیزی اشاره می کند ، از نظر (به نوعی) حقایق قبلی در مورد وجود اشیاء خاص (به ویژه اشیایی که اصالت ها مورد نظر به آنها اشاره می کنند) ، نحوی تز اولویت در عوض توضیح می دهد که وجود انواع خاصی از اشیاء بر اساس (به نوع معنا) حقایق قبلی در مورد اینکه آیا جملات مفرد مناسب در جملات واقعی (اتمی) به چشم می خورند یا خیر.

رایت و هیل سپس استدلال می کنند که اولاً ، اصطلاحات مفرد ظاهری (یعنی اصطلاحات انتزاعی) که در سمت چپ اصول انتزاعی مانند اصل هیوم ظاهر می شوند اصطلاحات اصلی منحصر به فرد هستند و ثانیاً ، اصل هیوم به عنوان یک اصل اصلی عمل می کند. تعریف این اصطلاحات ، تضمین وجود جملات اتمی واقعی که حاوی این اصطلاحات هستند. به ویژه ، زیرا برای هر مفهومی $پ$ :

$(\ forall z) (P (z) \ leftrightarrow P (z))$

یک اصل منطقی است ، اصل هیوم مستلزم آن است که هر گونه ادعای هویتی از فرم:

$\#(P) = \#(P)$

درست است. در نتیجه ، شرایط فرم $\#(پ)$ اشاره دارد (و به اشیاء انتزاعی معروف به اعداد اصلی) اشاره دارد. بنابراین ، هم وجود اشیاء انتزاعی که به عنوان موضوع محاسبات عمل می کنند ، و هم توانایی ما برای به دست آوردن دانش چنین اشیایی ، تضمین شده است.

آ. نئو منطق و درک

مشکل دیگری که منطق نئو با آن روبرو است شامل پاسخ به پارادوکس راسل است. نئو منطق گرایی شامل این ادعا است که اصول انتزاعی تعریف ضمنی مفاهیم ریاضی هستند. اما ، همانطور که پارادوکس راسل روشن می کند ، به نظر می رسد که هر اصل انتزاعی نمی تواند این نقش را ایفا کند. بنابراین ، منطق پردازان جدید به ما خطی را تقسیم می کند که اصول انتزاعی قابل قبول-یعنی آنهایی که به عنوان تعاریف واقعی مفاهیم ریاضی عمل می کنند-را از موارد غیرقابل قبول تقسیم می کند.

قبل از بررسی راه هایی که امکان دارد چنین خطی را بین اصول انتزاعی قبول و غیرقابل قبول ترسیم کنیم ، شایان ذکر است که این روش بر منطق نوی اجبار نمی شود. در ارائه پارادوکس راسل در بخش قبل ، یک عنصر مهم استدلال به طور ضمنی باقی ماند. کمیسازهای درجه دوم در یک اصل انتزاعی مانند قانون اصلی V بر مفاهیم متمرکز هستند ، و از این رو قانون اساسی V در واقع به ما می گوید که هر مفهوم متمایز یک پسوند مجزا می کند. اما ، برای پیشبرد بحث پارادوکس راسل ، باید بدانیم که مفهوم مطابقت با محمول راسل وجود دارد $R (x)$ .

گزارش های استاندارد منطق مرتبه دوم با طرح اولیه درک از وجود یک مفهوم متناظر با هر محمول اطمینان می دهد :

درک مطلب: برای هر فرمول $\ phi (x)$ که در آن $ایکس$ رایگان موجود نیست $\ فی (y)$ :

$(\ وجود دارد X) [\ forall y) [X (y) \ leftrightarrow \ Phi (y))$

فرگه در درک منطق خود از اصل درک صریح برخوردار نبود ، اما در عوض قوانین استنباطی داشت که تقریباً یکسان بود. اگر $R (x)$ در $\ فی (y)$ طرح درک مطلب جایگزین کنیم ، نتیجه می شود که مفهومی متناظر با آن وجود دارد $R (x)$ و بنابراین می توان استدلال پارادوکس راسل را اجرا کرد.

اما اکنون که ما نقش درک را آشکار کرده ایم ، پاسخ دیگری به پارادوکس راسل آشکار می شود. چرا به جای رد قانون اساسی V ، درک را رد نمی کنیم؟ به عبارت دیگر ، شاید مشکل طرح درک باشد و قانون اساسی V (و در واقع هر اصل انتزاعی) قابل قبول است.

بنابراین ، ما نمی توانیم فقط به طور کلی کنار بگذاریم ، از آن زمان هیچ تضمینی برای وجود مفاهیم نداریم ، و در نتیجه نکته کمی در بخش مرتبه دوم منطق مرتبه دوم ما وجود دارد. در عوض ، حرکتی که پیشنهاد می شود تبدیل شود فهمید با نسخه محدود است که مستلزم وجود مفاهیم کافی است که اصول انتزاعی به عنوان اصل هیوم و قانون اساسی V انجام کارهای ریاضی قابل توجه است که ما انجام دهیم ، اما مستلزم وجود مفاهیم مطابق با گزارش راسل ، که به تناقض می شود. برای بررسی چنین رویکردهایی کارهای خوبی انجام شده است. به عنوان مثال ، ممکن است ما مجدداً طرح را در نظر بگیریم تا فقط در مورد محمولات اعمال شود $\ phi (x)$ که مستند هستند (یعنی شامل متغیر مرتبه دوم محدودیت استفاده) یا نیستند $\ دلتا^1_1$ (یعنی معادل فرمولی هستند که همه کمّی کننده های مرتبه دوم آنها در جهان هستند و در ابتدای فرمول ظاهر شده اند) و همه فرمول هایی که معیارهای درجه دوم وجود دارند و در ابتدای فرمول ظاهر می شوند). (هک 1996) نشان می دهد که قانون اساسی V با نسخه قبلی قابل درک است و (Wehmeier 1999) و (Ferreira & Wehmeier 2002) نشان می دهد که قانون اساسی V با نسخه دوم (به طور قابل ملاحظه قوی تر تر) سازگار است.

یکی از مشکلات این رویکرد این است که اگر اصول ما را در بازسازی نظریه های ریاضی منطقی نویسی محدود کنیم ، کمیسازهای موجود در نظریه بازسازی شده نیز ضعیف می شوند. بنابراین ، اگر ما محدودیت را برای طبقه بندی از محمولها در نظر بگیریم ، حتی اگر بدیهیات استقرار کنیم برای حساب اثبات کنیم:

$(\ forall F) [F (0) \ land (\ forall x) (\ forall y) ((F (x) \ land P (x، y)) \ rightarrow F (y)) \ rightarrow (\ forall x ) (\ mathbb {N} (x) \ rightarrow F (x))]$

مشخص نیست که ما آنچه را که می خواهیم داریم. مشکل این است که ، در این شرایط ، ما هیچ تضمینی نداریم که استقرا همه محمولاتی را که می توان به زبان (مرتبه دوم) ما فرمول بندی کرد ، در اختیار دارد ، اما در عوض فقط تضمین می شود که استقراء برای آن دسته از محمولاتی که در محدودیت هستند ، صادق است. کلاسی که نسخه مورد علاقه ما برای درک آن کاربرد دارد. روشن نیست که این باید به عنوان یک بازسازی واقعی از حساب در نظر گرفته شود ، زیرا القاء به وضوح برای هر شرط معنی داری (و احتمالاً هر شرطی که بتواند در منطق مرتبه دوم تدوین شود معنی دار است) است. در نتیجه ، بیشتر کارها بر روی منطق نئو از رویکرد دیگری استفاده می کنند: درک کامل را حفظ کنید ، بپذیرید که قانون اساسی V ناسازگار است ،

ب منطق نئو و مشکل شرکت بد

در نگاه اول ، ممکن است فکر کنید که راه حل این مشکل بدیهی است: آیا نمی توانیم فقط توجه خود را به اصول انتزاعی سازگار محدود کنیم؟ به هر حال ، آیا این تفاوت بین اصل هیوم و قانون اساسی V نیست – اولی سازگار است ، در حالی که دومی چنین نیست؟ چرا نباید اصول ناسازگار انتزاعی را رد کرد و با آن کار کرد؟

متأسفانه همه چیز به این سادگی ها نیست. در مرحله اول ، مشخص می شود که هیچ روشی برای تعیین اینکه کدام اصول انتزاعی سازگار است و کدام یک وجود ندارد ، وجود ندارد. به عبارت دیگر ، هیچ روش یا الگوریتمی وجود ندارد که از اصل انتزاعی دلخواه به ما بگوید ، آیا این اصل انتزاعی مستلزم تناقضی است (مانند قانون اساسی V) یا نه (مانند اصل هیوم). برای اثبات ساده به (هک 1992) مراجعه کنید.

دوم ، و حتی نگران کننده تر ، این واقعیت است که طبقه اصول انتزاعی به طور جداگانه سازگار با خود نیست. به عبارت دیگر ، جفت اصل انتزاعی به گونه ای وجود دارد که هر یک از آنها سازگار است ، اما با یکدیگر ناسازگار هستند. یک مثال ساده توسط اصل مزاحمت ارائه شده است :

${\ sf NP}: (\ forall A) (\ forall Y) [\ mathcal {N} (X) = \ mathcal {N} (y) \ leftrightarrow {\ sf Fin} ((X \ setminus Y) \ cup (Y \ setminus X))]$

جایی که ${\ sf Fin} (X)$ ادعای کاملاً منطقی مرتبه دوم را مختصر می کند که تعداد محدودی $ایکس$ s وجود دارد. این اصل انتزاعی ، که برای اولین بار در (رایت 1997) مورد بحث قرار گرفت ، ساده سازی نمونه مشابه ارائه شده در (Boolos 1990a) است. رسمی، این اصل می گوید که مزاحمت از $ایکس$ یکسان به است مزاحمت از $Y$ اگر و تنها اگر مجموعه ای از چیزهایی که هم سقوط تحت $ایکس$ اما نه $Y$ ، و یا سقوط در زیر $Y$ اما نه $ایکس$ ، محدود است. حتی ساده تر ، مزاحمت $ایکس$ با مزاحمت $Y$ اگر و تنها اگر $ایکس$ و $Y$ حداکثر در بسیاری از اشیاء متفاوت است ، یکسان است .

در حال حاضر ، اصل مزاحمت ثابت است – در واقع ، مدلهایی $n$ برای اندازه برای هر عدد محدود دارد $n$ . اما مشکل این است که هیچ مدل بی نهایت ندارد. از آنجا که ، همانطور که در بحث خود درباره قضیه فرگه دیدیم ، اصل هیوم مستلزم وجود بی نهایت تعداد اصلی است و بنابراین همه مدلهای آن دارای دامنه بی نهایت هستند ، هیچ مدلی وجود ندارد که هم اصل مزاحمت و هم اصل هیوم را صادق کند. بنابراین ، محدود کردن توجه ما به اصول انتزاعی سازگار ، کار را انجام نمی دهد.

جای تعجب نیست که رایت چیزها را در آنجا رها نکرد و در همان مقاله ای که اصل مزاحمت را ارائه می دهد ، راه حلی برای این مشکل پیشنهاد می کند:

به طور خلاصه ، یک انتزاع مشروع نباید چیزی بیشتر از معرفی یک مفهوم با تعیین شرایط حقیقت برای اظهارات مربوط به مصادیق آن مفهوم انجام دهد. به به گاهي اوقات ، در جايي گورخرها موضوعي بين آن مفهوم و جهان وجود دارد. هيچ اصلي كه صرفاً شرايط حقيقت را به اظهارات مربوط به اشياء كاملاً نامرتبط و انتزاعي اختصاص مي دهد-و هيچ انتزاعي مرتبه دوم مشروع نمي تواند بيش از اين عمل كند-احتمالاً نمي تواند تاثيري در اين موضوع داشته باشد. آنچه در خطر است. به به در واقع ، محافظه کاری به معنای (چیزی نزدیک به) مفهوم آن مفهومی است که در نمایش هارتری فیلد در مورد نامگذاری گرایی او به کار گرفته شده است. (رایت 1997 ، 296)

دلیلی که رایت به نسخه محافظه کاری تقویت شده است (زمینه 2016) استناد می کند این است که تصحیح استاندارد محافظت از کار در کتابهای درسی در مورد مدل نظریه موجود است ، کار خود را انجام نمی دهد. این تصور به صورت زیر اصلاح شده است:

فرمول یک $\ فی$ م، یک زبان $\ mathcal {L} _1$ است محافظة کار بیش از ظهر یک تئوری $\ ریاضی {T}$ م، یک زبان $\ mathcal {L} _2$ که م، أن $\ mathcal {L} _2 \ subseteq \ mathcal {L} _1$ افزودن این هر گونه فقط اگر، برای هر فرمول $\ Psi \ در \ ریاضی {L} _2$ ، اگر:

$\ Phi، \ mathcal {T} \ models \ Psi$

سپس:

$\ mathcal {T} \ models \ Psi$

به عبارت دیگر ، با توجه به یک نظریه $\ ریاضی {T}$ ، فرمول $\ فی$ (معمولاً شامل واژگان جدیدی است که در آن گنجانده نشده است $\ ریاضی {T}$ ) محافظه کار است $\ ریاضی {T}$ اگر و تنها در صورتی که هر گونه فرمول در زبان $\ ریاضی {T}$ آن از پیوند $\ فی$ و $\ ریاضی {T}$ به $\ ریاضی {T}$ تنهایی دنبال شود . به عبارت دیگر ، اگر $\ فی$ محافظه کارانه به پایان برسد $\ ریاضی {T}$ ، اگرچه $\ فی$ ممکن است موارد جدیدی را شامل شود $\ ریاضی {T}$ که مستلزم آن نیست ، اما چیزهای جدیدی را به همراه ندارد که به زبان مردم قابل بیان باشد $\ ریاضی {T}$ .

در حال حاضر ، در حالی که این نظریه محافظه کاری در نظریه مدل بسیار مهم است ، اما همانطور که رایت متوجه شد ، بسیار قوی است تا در اینجا قابل استفاده نباشد ، زیرا حتی اصل هیوم نیز به این معنا محافظه کار نیست. هر نظریه ای را که با وجود چیزهای نامحدود سازگار است (یعنی دارای مدلهای محدود است) ${\ sf Inf}$ در نظر بگیرید و بگذارید ادعای کاملاً منطقی مرتبه دوم را بیان کند که جهان شامل بی نهایت اجسام است. سپس:

${\ sf HP} ، \ mathcal {T} \ models {\ sf Inf}$

ولی:

$\ mathcal {T} \ not \ models {\ sf Inf}$

این مثال می تواند مشکل باشد: اصول انتزاعی قابل قبول است ، وقتی با نظریه های مورد نیاز ما تبدیل شد ، آیا می توانیم ادلاهای خود را مستدل کنیم ، این نظریه ها مستلزم آن است. به عنوان مثال ، اصل هیوم مستلزم وجود بی نهایت اشیاء است. آیا می توانید حذف کنید اصول انتزاعی هستند که مستلزم ادعاهای خود را در مورد موضوع نظریه های مورد نیاز ما (غیر انتزاعی) است. بنابراین ، اصل هیوم نمی تواند مستلزم آن باشد که موضوع مورد نظر $\ ریاضی {T}$ شامل بی نهایت اشیاء است مگر می شود که به طور $\ ریاضی {T}$ کامل این ادعا را شامل شود. از این رو ، چیزی که ما می خواهیم چیزی شبیه به این است: یک اصل انتزاعی به معنای مربوطه محافظه کار است اگر تنها و تنها در شکل که ، با توجه به نظریه و فرمول در مورد برخی از حوزه اشیا ، در صورت ترکیب با ${\ sf A} _E$ $\ ریاضی {T}$ $\ فی$ $\ دلتا$ ${\ sf A} _E$ $\ ریاضی {T}$ محدود به حوزه مورد نظر و غیر انتزاعی آن مستلزم $\ فی$ محدود به حوزه مورد نظر و غیر انتزاعی آن است ، سپس (بدون محدودیت) باید شامل (نامحدود) شود. این مثال بالا را مسدود می کند ، زیرا اگر نظریه ما درباره گورخرها (با مثال رایت بمانیم) باشد ، اگر اصل هیوم بعلاوه وجود اجسام بی نهایت را شامل می شود ، اما وجود بی نهایت گورخرها را شامل نمی شود (مگر گورخر ما نظریه انجام دهید) می دهد) $\ ریاضی {T}$ $\ فی$ $\ ریاضی {T}$ $\ ریاضی {T}$

ما می توانیم این ایده را از طریق اقتباس مستقیم زیر معیار فیلد با شرایط کنونی به طور دقیق تر درک کنیم:

${\ sf A} _E$ است درست محافظة کار اگر و تنها برای اگر، هر نظریه برای و فرمول حاوی ، اگر: $\ ریاضی {T}$ $\ فی$ $_E$

${\ sf A} _E ، \ ریاضی {T}^{\ neg (\ Y وجود دارد) (x =_E (Y))} \ models \ Phi^{\ neg (\ موجود Y) (x =_E ( Y))}$

سپس:

$\ mathcal {T} \ models \ Phi$

حروف اضافی نشان می دهد که ما هر کمیساز را در فرمول (یا مجموعه ای از فرمول ها) مورد بحث ، به محمول فوق نویسی محدود می کنیم. بنابراین ، با توجه به یک فرمول $\ فی$ و یک محمول $\ Psi (x)$ ، $\ Phi^{\ Psi (x)}$ با تغییر هر کمیساز $\ فی$ با یک کمیسنج جدید که دامنه آن محدود به $\ Psi (x)$ الگوی زیر است ، بدست می آوریم :

$(\ forall x) \ نقاط$ تبدیل می شود $(\ forall x) [\ Psi (x) \ rightarrow \ dots$

$(\ x وجود دارد) \ نقاط$ تبدیل می شود $(\ وجود دارد x) (\ Psi (x) \ land \ dots$

$(\ forall X) \ نقاط$ تبدیل می شود $(\ forall X) [(\ forall x) [X (x) \ rightarrow \ Psi (x)) \ rightarrow \ dots$

$(\ وجود دارد X) \ نقاط$ تبدیل می شود $(\ موجود X) [(\ forall x) [X (x) \ rightarrow \ Psi (x)] \ land \ dots$

بنابراین ، با توجه به این نوع محافظه کاری ، یک اصل انتزاعی ${\ sf A} _E$ محافظه کار در تصویر است که هرگاه آن اصل انتزاع بعلاوه نظریه ای است که مقادیر کمی آن را محدود به اجسامی است که انتزاعی می کند ، تحت فرمول قرار می گیرد ، محاسبه کننده های آن به اشیایی محدود می شوند. خلاصه شده توسط اداره نمی تواند ، سپس نظریه (بدون چنین محدودیتی) مستلزم (بدون چنین محدودیتی). $\ ریاضی {T}$ ${\ sf A} _E$ $\پرواز$ ${\ sf A} _E$ $\ ریاضی {T}$ $\پرواز$

اصل هیوم (و بسیاری دیگر از اصول انتزاعی) از این نظر محافظه کار است. علاوه بر این ، این ایده که محافظه کاری میدان شرط لازم برای اصول انتزاعی قابل قبول است ، در ادبیات منطق نو پذیرفته شده است. اما محافظه کاری میدان ، حتی با قوام ، نمی تواند برای مقبولیت کافی باشد ، به یک دلیل بسیار ساده (و در حال حاضر آشنا به نظر می رسد): به نظر می رسد که دو جفت اصل انتزاعی وجود دارد که هر دو سازگار و محافظه کار هستند ، اما با یکدیگر ناسازگار هستند

اولین جفت اصول انتزاعی در (Weir 2003) ارائه شده است. در اینجا تفاوت اندکی در ساختار وی وجود دارد. ابتدا یک رابطه معادل جدید تعریف می کنیم:

$\ begin {align*} X \ Leftrightarrow Y = _ {df} (\ forall z) (X (z) \ leftrightarrow Y (z)) \ lor (& (\ موجود z) (\ وجود w) (X (z ) \ زمین X (w) \ زمین z \ neq w) \\ \ زمین \ & (\ وجود z) (\ وجود w) (X (z) \ زمین X (w) \ زمین z \ neq w)) \ پایان {تراز*}$

به عبارت دیگر ، between بین دو مفهوم $ایکس$ و $و$ اگر و تنها در صورتی که هر دو بیش از یک شیء ندارند ، نگه داشته شود و از یک شیء یکسان برخوردار باشد ، یا هر دو بیش از یک شی را در اختیار داشته باشند. در مرحله بعد ، اجازه دهید ${\ sf محدودیت}$ فرمول کاملاً منطقی مرتبه دوم را بیان کنید که این ادعا را بیان می کند که اندازه جهان یک اصل اساسی است و ${\ sf بعدی}$ فرمول کاملاً منطقی مرتبه دوم را کوتاه کنید و این ادعا را بیان کنید که اندازه جهان یک کاردینال جانشین است. (کاردینالهای محدود و کاردینالهای جانشین انواع بی نهایت اعداد اصلی هستند. حقایق زیر تنها چیزی است که برای کار مثال لازم است: هر عدد اصلی یا کاردینال حدی است یا کاردینال جانشین (اما نه هر دو) ؛ با توجه به هر نوع کاردینال محدود ، یک کاردینال جانشین بزرگتر وجود دارد ؛ و با توجه به هر کاردینال جانشین ، یک کاردینال حد بزرگتر وجود دارد. برای اثبات این نتایج و اطلاعات بیشتر در مورد اعداد اصلی نامحدود ، خواننده تشویق می شود که مشورت کند (Kunen 1980). حالا در نظر بگیرید:

$\ begin {align*} {\ sf A} _ {E_1}: \ & (\ forall X) (\ forall Y) [_ 1 (X) = @_1 (Y) \ leftrightarrow ({\ sf Limit} \ land X \ Leftrightarrow Y) \ lor (\ forall z) (X (z) \ leftrightarrow Y (z))] \\ {\ sf A} _ {E_2}: \ & (\ \ forall X) (\ forall Y) [ @_2 (X) = @_2 (Y) \ leftrightarrow ({\ sf Succ} \ land X \ Leftrightarrow Y) \ lor (\ forall z) (X (z) \ leftrightarrow Y (z))] \ end {align *}$

هر دو ${\ sf A} _ {E_1}$ و ${\ sf A} _ {E_2}$ یکدست هستند: ${\ sf A} _ {E_1}$ در حوزه هایی که کاردینیتیت آن یک کاردینال محدود نامحدود است ، قابل قبول است و در دامنه هایی که کاردینالیت آنها محدود است یا یک کاردینال جانشین نامحدود (در حوزه های اخیر به طور مشابه با قانون اساسی V رفتار می کند) قابل قبول نیست. همه چیز به طور مشابه ثابت می شود ${\ sf A} _ {E_2}$ ، مگر اینکه نقشهای کاردینالهای محدود و کاردینالهای جانشین معکوس شوند. علاوه بر این ، هر دو اصل محافظه کار میدان هستند. اثبات این حقیقت پیچیده است ، اما اساساً به این واقعیت بستگی دارد که classes کلاس های هم ارز را به گونه ای ایجاد می کند که در هر حوزه نامحدود ، تعداد کلاس های معادل مفاهیم با تعداد مفاهیم یکسان باشد. برای بحث بیشتر به (Cook & Linnebo 2018) مراجعه کنید. اما ، از آنجا که هیچ شماره اصلی هم کاردینال حدی و هم کاردینال جانشین نیست ، هیچ حوزه ای وجود ندارد که هر دو اصل را به طور همزمان صادق کند. بنابراین ، محافظه کاری میدان برای تضمین اینکه اصل انتزاعی یک تعریف قابل قبول از منطق ریاضی از یک مفهوم ریاضی است ، کافی نیست.

ادبیات مربوط به Bad Company بر توسعه معیارهای ظریف تر متمرکز شده است که ممکن است بر اساس اصول انتزاعی قابل قبول اعمال کنیم ، و اکثر آنها بر سه نوع توجه متمرکز شده اند:

رضایت: اصل در چه اندازه دامنه ای قابل رضایت است؟
پر بودن: اصل مورد نظر در مورد چه اندازه دامنه ای به اندازه اشیاء موجود در دامنه ایجاد می کند؟
یکنواختی: آیا اینطور است که اگر از یک حوزه به یک حوزه بزرگتر حرکت کنیم ، این اصل حداقل به همان اندازه که در مورد اول ، چکیده ای در مورد دوم ایجاد می کند؟

خواننده تشویق می شود تا با مشورت (Cook & Linnebo 2018) برای مرور خوب وضعیت فعلی هنر در رابطه با پیشنهادات مربوط به مشکلات شرکت بد که تحت یکی از (یا ترکیبی از) این سه نوع رویکرد قرار دارد ، مشورت کند. به

ج گسترش منطق نئو فراتر از حساب

بعد بعدی که با منطق نئو روبه رو است ، این گزارش به شاخه های دیگر ریاضیات است. بازسازی حساب از اصل هیوم (حداقل ، به طور فنی) ، داستان موفقیت بزرگ منطق نو است ، اما اگر این تا آنجا پیش رود رود ، این دیدگاه فقط از ماهیت حساب است ، به طور کلی ماهیت ریاضیات را گزارش نمی کند. بنابراین ، اگر قرار است منطق پردازان جدید موفق شوید ، باید نشان دهید که این رویکرد را می توانم به تمام (یا بخش بخش اعظم) ریاضیات تسری داد داد.

بیشتر کارهایی که در این زمینه انجام شده است در دو حوزه ریاضی متمرکز شده است که بر حساب ، تمایل بیشتری در مبانی ریاضیات به دست آورند داشته اند: مجموعه نظریه ها و تجزیه و تحلیل واقعی. اگر ممکن است در نگاه اول تا حدودی محدود به نظر برسد ، اما انگیزه خوبی دارد. منطق نوی قبلاً با استفاده از اصل هیوم ، حساب را بازسازی کرده است ، که نشان می دهد منطق نئو می توانم (بی شمار) تشکیلات نامحدود را اداره کنم. اگر منطق نئو نتیجه تجزیه و تحلیل واقعی را بازسازی کند ، این نشان می دهد که این حساب می تواند با ساختارهای ریاضی مداوم سروکار داشته باشد. و اگر منطق نئو ممکن است مجموعه نظریه را نیز بازسازی کند ، این نشان می دهد که این حساب می تواند از ساختارهای نامحدود بزرگتر خود استفاده کند کند.این سه ادعا در مجموع می تواند برای این ادعا قانع کننده باشد که از ریاضیات مدرن می تواند چنین بازسازی کرد. بازسازی های منطقی نوی از تجزیه و تحلیل واقعی از الگوی درمان نظری مجموعه ای به سبک ددکیند پیروی کرده است. آنها با اعداد طبیعی که توسط اصل هیوم به ما داده شده است شروع می شود. سپس از (سفارش داده شده) استفاده کنید ما اصل جفت شدن :

${\ sf Pair}: (\ forall x) (\ forall y) (\ forall z) (\ forall w) [\ langle x، y \ rangle = \ langle z، w \ rangle \ leftrightarrow (x = z \ land y = w)]$

برای بدست آوردن جفت اعداد طبیعی و استفاده از یک اصل دیگر که یک کپی از اعداد صحیح را به عنوان کلاسهای معادل جفت اعداد طبیعی در اختیار ما قرار داده است. دوباره مجدداً از اصل جفت شدن برای بدست آوردن جفت های مرتب شده از این اعداد درست شده است استفاده کنیم و سپس یک اصل دیگر را برای بدست آوردن کپی از اعداد منطقی به عنوان کلاس معادل سازی جفت های مرتب شده از کپی اعداد صحیح ما اعمال کنیم به در نهایت ، ما از یک اصل دیگر برای بدست آوردن چکیده مربوط به هر “برش” در تنظیم طبیعی اعداد منطقی استفاده می کنیم و مجموعه ای از چکیده ها را به صورت اعداد حقیقی استاندارد به دست می آوریم.

نمونه هایی از این نوع بازسازی اعداد واقعی را می توان در (Hale 2000) و (Shapiro 2000) یافت. با این حال ، تفاوت قابل توجهی بین دو رویکرد موجود در این دو مقاله وجود دارد. ساختمان شاپیرو زمانی متوقف می شود که او اصل انتزاعی را که برای هر “برش” چکیده ای از نسخه منطقی را ارائه می دهد ، به کار گیرد ، زیرا در این مرحله ما مجموعه ای از چکیده ها را به دست آورده ایم که ساختار آنها با اعداد واقعی استاندارد ناهمگن است. با این حال ، ساخت هیل شامل یک مرحله دیگر است: وی نسخه ای از اصل نسبت را که قبلاً مورد بحث قرار گرفت ، در این نسخه اولیه از واقعیات اعمال می کند و ادعا می کند که ساختار حاصل از اعداد واقعی واقعی (و چکیده های مرحله قبل) تشکیل شده است. ، در حالی که ساختار یکسانی داشتند ، فقط یک نسخه بودند – نه مقاله اصلی).

تفاوت بین این دو رویکرد ناشی از یک اختلاف عمیق تر در مورد آنچه دقیقاً برای موفقیت بازسازی نظریه ریاضی مورد نیاز است ، می باشد. این اختلاف نظر مستقیماً به فرگه برمی گردد که در Grundgesetze می نویسد :

بنابراین مسیری که در اینجا باید طی شود بین رویکرد قدیمی ، که هنوز H. Hankel آن را ترجیح می دهد ، از یک مبنای هندسی برای نظریه اعداد غیر منطقی و رویکردهایی که در دوران اخیر دنبال شده است ، متمرکز می شود. از نظر قبلی ، ما مفهوم یک عدد واقعی را به عنوان نسبت قدر یا عدد اندازه گیری حفظ می کنیم ، اما آن را از هندسه جدا می کنیم و در واقع انواع بزرگی خاصی را تشکیل می دهیم ، در نتیجه به تلاش های اخیر نزدیک می شویم. با این حال ، در عین حال ، ما از مشکلات نوظهور رویکردهای اخیر اجتناب می کنیم ، این که یا اندازه گیری اصلاً مشخص نیست ، یا اینکه بدون هیچ گونه ارتباط داخلی که بر اساس ماهیت خود عدد است ، مشخص می شود ، بلکه صرفاً مورد استفاده خارجی قرار می گیرد ، از این رو ، به طور دقیق ، ما باید به طور خاص برای هر نوع بزرگی نحوه اندازه گیری آن را بیان کنیم ، و چگونه عددی بدست می آید در اینجا هیچ معیار کلی برای اینکه اعداد چگونه می توانند به عنوان اندازه گیری اعداد مورد استفاده قرار گیرند و کاربرد آنها چگونه شکل می گیرد وجود ندارد.

بنابراین ما می توانیم از یک سو امیدوار باشیم که راه هایی را که حساب در زمینه های خاصی از دانش به کار می گیرد از ما دور نکند ، از سوی دیگر ، حساب را با اشیاء ، مفاهیم و روابط قرض گرفته از این علوم آلوده نکند. و طبیعت و خودمختاری خاص آن را به خطر می اندازد. مطمئناً می توان انتظار داشت که حساب روش هایی را که در آن حساب به کار می رود ، ارائه دهد ، حتی اگر خود برنامه موضوع آن نباشد. (Frege 1893/1903/2013 ، 9159)

رایت ایده فرگه را در اینجا به خوبی خلاصه می کند:

این یکی از واضح ترین فرازهایی است که در آن فرگه به بیان چیزی می پردازد که من پیشنهاد می کنم ما آن را محدودیت فرگه می نامیم : مبنای رضایت بخشی برای یک نظریه ریاضی باید به نحوی برنامه های کاربردی آن ، واقعی و بالقوه ، را در هسته آن – در محتوایی که به آن نسبت می دهد ، بنا کند. اظهارات نظریه – نه فقط “وصله آنها از بیرون”. (رایت 2000 ، 324)

اکنون دلیل گام اضافی هیل باید آشکار شود. هیل محدودیت فرگه را می پذیرد ، و علاوه بر این ، او با فرگه موافق است که بخش مرکزی توضیح برای کاربرد وسیع اعداد واقعی در علم این واقعیت است که آنها نسبتهای بزرگی هستند. در مرحله قبل از ساختن او (مرحله ای که مربوط به مرحله آخر شاپیرو است) ما مقادیر متفاوتی را بدست آورده ایم ، اما مرحله آخر برای حرکت از خود بزرگی ها به نسبت های مورد نیاز است. از طرف دیگر ، شاپیرو به محدودیت فرگه متعهد نیست ، و در نتیجه تنها با به دست آوردن مجموعه ای از اجسام انتزاعی که ساختار آنها با ساختار اعداد واقعی یکسان نیست ، راضی است. در نتیجه ، او یک قدم زودتر از هیل متوقف می شود.

نظریه ریاضی دیگر که مورد توجه منطق گرایی بوده است ، نظریه مجموعه است. بدیهی است که در ابتدا بدیهی ترین رویکرد برای دست آوردن نظریه قدرتمند نئولوژیکیست مجموعه ها-قانون اساسی V- ناسازگار است ، اما با این وجود این رویکرد جذاب است ، و در نتیجه بخش عمده ای از کار بر روی نظریه مجموعه های منطق نئو منطقی در موارد مختلف متمرکز شده است. راه هایی که ما ممکن است قانون اساسی V را محدود کنیم ، به گونه ای که اصل آن به اندازه کافی قدرتمند باشد تا همه یا همه کارهای معاصر را در نظریه مجموعه بازسازی کند ، اما واقعا ، سازگار نیز باشد. اصلی که در این راستا بسیار مورد توجه قرار گرفته است ، اصل زیر است که در (Boolos 1989) پیشنهاد شده است:

${{\ sf NewV}: (\ forall X) (\ forall Y) [\ S _ {\ sf NewV} (X) = \ S _ {\ sf NewV} (Y) \ leftrightarrow ({\ sf Big} (X) \ land {\ sf Big} (Y)) \ lor (\ forall z) (X (z) \ leftrightarrow Y (z))]}$

که در آن ${\ sf بزرگ} (X)$ مخفف برای این ادعا مرتبه دوم کاملاً منطقی است که یک نگاشت از وجود بازدیدکنندگان $ایکس$ روی جهان-این است که:

${{\ sf Big} (X) = _ {df} (\ R موجود است) (\ forall y) [\ z وجود دارد] (X (z) \ land R (z، y)) \ land (\ forall y) (\ forall z) [\ forall w) [R (y، w) \ land R (y، w) \ rightarrow z = w)}$

${\ sf NewV}$ در مورد مفاهیمی که دارای تعداد کمتری از اشیاء موجود در دامنه به طور کلی هستند ، مانند قانون اساسی V رفتار می کند و هر یک از این مفاهیم دارای پسوند منحصر به فرد خود هستند ، اما تمام مفاهیمی را که دارای تعداد زیادی شی در حوزه هستند ، ترسیم می کند. یک کل به یک شیء “ساختگی”. این اصل به منظور جذب روح تحلیل گئورگ کانتور از پارادوکسهای نظری مجموعه است. به گفته کانتور ، آن مفاهیمی که با مجموعه ای مطابقت ندارند (به عنوان مثال ، مفهوم متناظر با محمولات راسل) این کار را انجام نمی دهند زیرا از جهاتی “بسیار بزرگ” هستند (هالت 1986).

${\ sf NewV}$ سازگار است و با توجه به تعاریف زیر:

$\ begin {align*} {\ sf Set} (x) & = _ {df} (\ Y موجود است) (x = \ S _ {\ sf NewV} (Y) \ land \ neg {\ sf Big} (Y) ) \\ x \ in y & = _ {df} (\ Z وجود دارد) (Z (x) \ land y = \ S _ {\ sf NewV} (Z)) \ end {align*}$

این شامل گستردگی ، مجموعه خالی ، جفت شدن ، جداسازی و بدیهیات تغییر یافته از نظریه مجموعه های Zermelo-Fraenkel (ZFC) است ، و همچنین شامل نسخه ای است که کمی تغییر یافته از بدیهیات اتحادیه است. این شامل بدیهیات بی نهایت ، مجموعه قدرت یا بنیاد نمی شود.

${\ sf NewV}$ با این حال ، محافظه کار نیست ، زیرا دلالت دارد که در کل حوزه وجود دارد-برای پیش بینی به (شاپیرو و ویر 1999) مراجعه کنید. از آنجا که ، به طور کلی که قبلاً دیدیم ، نیاز به درک وجود دارد که اصول انتزاعی می تواند دقیقاً به این معنا محافظت کند ، منطق پردازش جدید احتمالاً باید در جای دیگری به دنبال بازسازی نظریه مجموعه ها باشد.

بنابراین ، در صورتی که مباحث جاری در مورد بازسازی اعداد واقع در درجه اول به مسائل فلسفی مربوط می شود ، یا کدامیک از بازسازی های فنی مختلف بر اساس ملاحظات فلسفی محدود می شود فرگه ترجیح داده می شود ، یک س بسیار ال بسیار واقعی در این مورد که آیا نظریه مجموعه های معاصر می توان داده شود که ریاضی بازسازی کافی در رویکرد نو منطقی باشد.

د منطق نئو و تاثیر سزار

مشکل نهایی که منطق نئو با آن روبرو است ، مشکلی است که از قبل شناخته شده است: مسئله سزار. البته فرگه با انکار ، درنهایت ، مسأله سزار را کنار گذاشت و اصول انتزاعی مانند اصل هیوم یا قانون اساسی پنجم را تعریف کرد. اما منطق نئو می پذیرد که این اصول انتزاعی ، تعاریف (ضمنی) مفاهیم ریاضی مورد بحث هستند. تعریف کافی از یک مفهوم ریاضی باید دارای دو خواسته زیر باشد:

شرایط هویت: یک تعریف کافی باید شرایطی را بیان کند که در آن دو نهاد تحت این تعریف یکسان یا متمایز هستند.
شرایط مرزبندی: یک تعریف کافی باید شرایطی را که تحت آن واحد تجاری تحت آن تعریف قرار می گیرد یا خیر ، بیان کند.

به طور خلاصه ، اگر اصل هیوم به عنوان تعریف مفهوم c ardinal عمل می کند ، باید به ما بگوید که چه زمانی دو عدد اصلی یکسان هستند و چه زمانی متفاوت هستند ، و باید به ما بگوید که یک شی یک عدد اصلی است. ، و وقتی نیست. همانطور که قبلاً مشاهده کردیم ، اصل هیوم (و دیگر اصول انتزاعی) در اولین کار خوب عمل می کند ، اما در مورد دوم به طور قطع کوتاهی می کند.

راه حل های منطق نوی برای مسئله سزار معمولاً یکی از سه شکل خود را دارد. اولین رویکرد این است که مشکل را نفی کنیم ، با این استدلال که مهم نیست شیئی که با عبارت انتزاعی مربوط به فرم انتخاب شده $\#(پ)$ واقعاً عدد دو باشد ، مادامی که آن شی نقش دو را در قلمرو اشیایی که اصل هیوم را صادق می کند (یعنی تا زمانی که به طور مناسب با سایر اشیاء که سایر اصطلاحات انتزاعی فرم به آنها اشاره می کنند مرتبط باشد $\#(س)$ ) اگرچه این هدف مقاله نیست ، بحث ارتباط منطق گرایی و ساختارگرایی در مورد ریاضیات در (رایت 2000) چیزی شبیه به این ایده را لمس می کند. رویکرد دوم این است که استدلال می کند ، اگرچه اصول انتزاعی همانطور که در اینجا فهمیده ایم ، ادعاهای هویتی شکل را حل نمی کند $t = @(P)$ (جایی که $t$ یک اصطلاح انتزاعی نیست) ، ما فقط باید آنها را به طور مناسب دوباره فرموله کنیم. باز هم ، اگرچه مشکل سزار هدف اصلی مقاله نیست ، اما این نوع رویکرد در (کوک 2016) دنبال می شود ، جایی که نسخه های اصول انتزاعی شامل عملگرهای مودال مورد بررسی قرار می گیرد. سرانجام ، رویکرد سوم شامل اعتراف به این است که اصول انتزاعی به تنهایی مستعد مشکل سزار هستند ، اما استدلال اینکه اصول انتزاعی به تنهایی نیازی به حل آن ندارد. در عوض ، هویت های فرم $t = @(P)$ (جایی که $t$ واژه انتزاعی نیست) از طریق ترکیبی از اصل انتزاع مربوطه به علاوه اصول متافیزیکی یا معنایی اضافی حل می شود. این رویکردی است که در (Hale & Wright 2001b) اتخاذ شد ، جایی که مشکل سزار با بسیج محدودیت های نظری اضافی در مورد حل می شود.دسته ها – یعنی حداکثر مفاهیم مرتب سازی با شرایط هویت یکنواخت – با این استدلال که اشیا از دسته های مختلف نمی توانند یکسان باشند.

قبل از اینکه به سراغ نسخه های دیگر انتزاعی گرایی برویم ، شایان ذکر است که مورد خاصی از مسئله سزار را ذکر کنیم. به طور سنتی ، مسئله سزار به عنوان یک پازل در مورد تعیین شرایط حقیقت ادعاهای فرم مطرح می شود:

$t = @(P)$

جایی که $t$ یک اصطلاح انتزاعی نیست اما نوع دیگری از نگرانی وجود دارد که در این راستا بوجود می آید ، یکی شامل هویت هایی است که در آن هر اصطلاح یک واژه انتزاعی است ، اما آنها اصطلاحات انتزاعی هستند که توسط اصول انتزاعی متمایز اداره می شوند. برای دقیق بودن ، دو اصل انتزاعی مفهومی مجزا (سازگار) را در نظر بگیرید:

$\ begin {align*} {\ sf A} _ {E_1}: \ & (\ forall X) (\ forall Y) [_ 1 (X) = @_1 (Y) \ leftrightarrow E_1 (X، Y)] \ \ {\ sf A} _ {E_2}: \ & (\ forall X) (\ forall Y) [_ 2 (X) = @_2 (Y) \ leftrightarrow E_2 (X، Y)] \ end {align*}$

به دلایلی مشابه دلایل اصلی مشکل سزار ، پیوند این دو اصل نمی تواند هیچ گونه هویتی از فرم را حل کند:

$@_1 (P) = @_2 (Q)$

این مشکل ، که به آن $\ mathbb {C} \ text {-} \ mathbb {R}$ مشکل گفته می شود (از آنجایی که یک مورد خاص هنگام ${\ sf A} _ {E_1}$ معرفی اعداد مختلط و ${\ sf A} _ {E_2}$ معرفی اعداد واقعی است) در (Fine 2002) و (Cook & Ebert 2005) مورد بحث قرار گرفته است. اولی (بیشتر به دلایل راحتی فنی و نه به دلایل اصل فلسفی) پیشنهاد می کند که ما چنین هویت هایی را با الزام این که چکیده های یکسان با کلاس های معادل یکسان مطابقت داشته باشند ، حل کنیم. بنابراین ، با توجه به دو اصل انتزاعی بالا ، ما اصل هویت اضافی زیر را اتخاذ می کنیم :

${\ sf IP}: (\ forall X) [\ forall Y) [_ 1 (X) = @_2 (Y) \ leftrightarrow (\ forall Z) (E_1 (Z، X) \ leftrightarrow E_2 (Z، Y) )]$

به عنوان مثال ، اگر اصل هویت را بر خلاصه های تحت حاکمیت ${\ sf NewV}$ و آنهایی که بر اساس اصل هیوم اداره می شوند ، اعمال کنیم ، می توان نتیجه گرفت که:

$\ S _ {\ sf NewV} (x \ neq x) = \#(x \ neq x)$

یعنی ، $\ varnothing = 0$ . از این گذشته ، کلاس معادل سازی مفاهیم حاوی مفهوم خالی با توجه به رابطه معادل سازی که در آن بسیج می شود ${\ sf NewV}$ ، مشابه کلاس معادل مفاهیمی است که حاوی مفهوم خالی است ، با توجه به رابطه معادل سازی در اصل هیوم (هر دو شامل مفهوم خالی هستند و هیچ مفهوم دیگری ندارند. ) اما ادعای زیر نادرست به نظر می رسد ( $آ$ هر اصطلاح کجاست ):

$\ S _ {\ sf NewV} (x = a) = \#(x = a)$

یعنی ، برای هر شی $\ آلفا$ ، $\ {\ alpha \} \ neq 1$ . باز هم ، دلیل آن ساده است. کلاس معادل سازی که از طریق رابطه هم می تواند از ${\ sf NewV}$ آن استفاده شود ، برای مفهومی که از آن استفاده می شود $آ$ و $آ$ به تنهایی اعمال می شود ، به ما کلاس معادل سازی می دهد که فقط شامل مفهوم آن می شود ، در حالتی که کلاس یکسان سازی می شود که توسط رابطه همتا از اصل هیوم ارائه شده است ، در مورد مفهومی که صادق است اعمال می شود. از $آ$ و $آ$ به تنهایی ، به ما کلاس معادل سازی می دهد که هر مفهوم است که دقیقاً از یک شیء وجود داشته باشد.

در حالتی که این راه حل از نظر فنی ساده و زیبا است ، (کوک و ایبرت 2005) برخی اعتراضات را خواستند کند. کوک و ایبرت پیشنهاد می کنند که هر حساب برخی از اعداد (به ویژه صفر) را با برخی از مجموعه ها (به مجموعه ویژه خالی) یکسان می کند ، اما همه آنها شامل نمی شوند. اعداد مجموعه هستند ، یا همه مجموعه ها اعداد هستند ، در بهترین حالت از نظر متافیزیکی مشکوک است.

5. انتزاع پویا

اکنون که ما هم به نسخه منطقی فرگه در مورد انتزاع گرایی و هم در نئو منطق گرایی معاصر نگاه کرده ایم ، این مقاله با نگاه گذر به تنوع دیگر در موضوع انتزاعی گرایی به پایان می بریم.

steinystein Linnebo نسخه ای از انتزاع گرایی-انتزاع پویا-را که شامل مفاهیم مودال است ، اما به طریقی بسیار متفاوت از شیوه ای است که این مفاهیم را در کارهای سنتی بیشتر در مورد منطق نئو تقویت می کند ، فرموله شده است (Linnebo 2018). با این حال ، قبل از جمع آوری این دیدگاه ، باید توجه داشته باشید که این روایت مستلزم خوانش متفاوتی از متغیر مرتبه دوم است که در اصول انتزاعی مفهومی دخیل است-قرائت جمع آوری. بنابراین ، فرمول فرم:

$(\ موجود X) \ Phi (X)$

نباید به صورت زیر خوانده شود:

مفهومی وجود دارد که معتقد است . $ایکس$ $\پرواز$ $ایکس$

به عنوان:

اشیاء – $ایکس$ س – به گونه ای وجود دارند که آن اشیاء هستند $\پرواز$ .

ما می توانیم از همان نماد قبلی استفاده کنیم ، اما خواننده باید این تفاوت را در نظر داشته باشد.

لینبو توسعه نسخه جدید خود از انتزاع گرایی را با اشاره به این نکته که قانون اصلی پنجم می تواند به عنوان یک اصل اصل تجدید نظر شود ، آغاز می کند. اولین:

$(\ forall X) [\ y وجود دارد] (y = \ S (X))$

می گوید که هر تعداد اشیاء دارای یک پسوند هستند و دومی:

${(\ forall X) (\ forall Y) (\ forall z) (\ forall w) [(z = \ S (X) \ land w = \ S (Y)) \ rightarrow (z = w \ leftrightarrow (\ forall v) (X (v) \ leftrightarrow Y (v))]}}$

می گوید که با توجه به هر دو کثرت و بسط آنها ، دومی یکسان در شکل است که اولی به صورت می شود.

لینبو این اصول سپس را دوباره فرمول بندی می کند و هویت فرم را $x = \ S (Y)$ با ادعای رابطة ای فرم جایگزین می کند ${\ sf Set} (Y ، x)$ (این بیشتر به دلایل فنی، شامل تمایل به اجتناب از نیاز به بسیج منطق آزاد در چارچوب ). ${\ sf Set} (X ، y)$ باید به صورت زیر خوانده شود:

$و$ مجموعه ای از $ایکس$ s است.

سپس به واقع او اصل سقوط می نامد دست می یابیم :

${\ sf Coll}: (\ forall X) (\ y وجود دارد) ({\ sf Set} (X، y))$

و اصل توسعه متحیری :

${{\ sf Ext}: (\ forall X) (\ forall Y) (\ forall z) [\ forall w) [({\ sf Set} (X، z) \ land {\ sf Set} (Y، w )) \ rightarrow (z = w \ leftrightarrow (\ forall v) (X (v) \ leftrightarrow Y (v))]]}$

که می گوید با توجه به هر دو کثرت و مجموعه های مربوطه ، دومی یکسان هستند در صورتی که اولی به صورت گسترده باشد. در حال حاضر ، این اصول به طور مشترک ناسازگار با فرمول اولیه قانون اساسی V است. اما لینبو روش جدیدی را برای درک فرآیند انتزاع پیشنهاد می کند: ما کمیسازهای جهانی را در این اصول درک می کنیم که در یک طبقه از موجودات قرار می گیرند ، و کمیسازهای وجودی موجودات جدیدی را به ما می دهند که از این هستی شناسی قبلی انتزاع شده اند. در نتیجه ، یک تصویر پویا از انتزاع به دست می آید: به جای یک اصل انتزاعی که چکیده هایی را که در نتیجه در نظر گرفتن همه اشیا – از جمله همه چکیده ها – در یک حوزه جهانی ثابت و بدون تغییر ایجاد می شود ، توصیف کند ، در عوض هستی شناسی خود را در شرایط مجموعه گسترده ای از دامنه ها ،

Linnebo پیشنهاد می کند که ما می توانیم این ایده ها را دقیقاً با اتخاذ یک برنامه تا حدودی غیر استاندارد از عملگرهای مودال $\ جعبه$ و $\ الماس$ . به عبارت ساده تر ، ما $\ Box \ Phi$ می گوییم “در هر حوزه ای $\پرواز$ ” و $\ الماس \ فی$ “می توان دامنه را به گونه ای گسترش داد $\پرواز$ “. با استفاده از این عملگرها ، می توانیم نسخه های جدید و پویای Collapse و Extension را تدوین کنیم. نسخه اصلاح شده Collapse

${\ sf Coll^\ Diamond}: \ Box (\ forall X) \ Diamond (\ y وجود دارد) ({\ sf Set} (X، y))$

می گوید که با توجه به هر دامنه و هر تعداد اشیاء از آن دامنه ، یک دامنه (احتمالاً توسعه یافته) وجود دارد که مجموعه حاوی اعضای آن کثرت وجود دارد و نسخه تعدیل شده افزونه :

${{\ sf Ext^\ Diamond}: (\ forall X) (\ forall Y) (\ forall z) [\ forall w) [({\ sf Set} (X، z) \ land {\ sf Set} ( Y ، w)) \ rightarrow (z = w \ leftrightarrow \ Box (\ forall v) [X (v) \ leftrightarrow Y (v))]]}$

می گوید ، با توجه به هر گونه کثرت و مجموعه های مربوط به آنها ، دومی یکسان هستند و فقط در صورتی که اولی لزوماً متراکم هستند (توجه داشته باشید که تغییر کرده اید ، بر خلاف یک مفهوم ، در همه جهان مشابهی دارد). این نسخه از قانون اصلی پنجم ، شامل برخی از بدیهیات استاندارد مجموعه نظری است ، سازگار است. در واقع ، با یک نسخه بسیار قوی و م دل برای درک بیشتر از حد مطابقت دارد (Linnebo 2018 ، 68). بنابراین ، رویکرد انتزاعی پویا ، بر خلاف منطق نویسی رایت و هیل ، امکان بازسازی انتزاعی به ویژه زیبا از مجموعه نظریه ها را به دست آوردن آوردم.

اگر ، نسخه پویای قانون پایه V بر روی این رویکرد سازگار باشد ، نسخه پویای هر اصل انتزاعی است. در نتیجه ، با توجه به هر اصل انتزاعی نو منطقی:

${\ sf A} _E: (\ forall X) (\ forall Y) [_ E (X) =_E (Y) \ leftrightarrow E (X، Y)]$

یک جفت اصول پویا متناظر وجود داشت:

${\ sf Coll}^\ Diamond_E: \ Box (\ forall X) \ Diamond (\ y وجود دارد) ({y =_E (X)} \ sf Abs (X، y))$

و:

${{\ sf Ext}^\ Diamond_E: (\ forall X) (\ forall Y) (\ forall z) (\ forall w) [({\ sf Abs} _E (X، z) \ land {\ sf Abs} _E (Y ، w)) \ rightarrow (z = w \ leftrightarrow \ Box E (X، Y))]}$

جایی که می گوید ${\ sf Abs} _E (X ، y)$ چیزی شبیه به:

$و$ است $و$ -خلاصه از $ایکس$ بازدید کنندگان.

و ${\ sf Coll}^\ Diamond_E$ و ${\ sf Ext}^\ Diamond_E$ ، بر خلاف ${\ sf A} _E$ ، تضمین می کند (به طور مشترک) سازگار است.

بنابراین ، اگرچه لینبو هنوز نباید با مشکل سزار و از مسائل دیگری که نئولوژیک گرایی را درگیر کرده است دست و پنجه نرم کند-و خواننده ترغیب می شود تا فصل های مربوط به (Linnebo 2018) ببیند تا ببیند در این زمینه چه می می گوید-انتزاع پویای خود حساب از مشکل شرکت بد رنج نمی برد: همه اشکال انتزاع ، کسانی که دوباره به صورت پویا باز می شوند ، در شرکت خوب هستند.

6. منابع و خواندن بیشتر

ارسطو ، (1975) ، Posterior Analytics J. Barnes (ترجمه) ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
Bueno ، O. &. Linnebo (ویراستاران) (2009) ، موجهای جدید در فلسفه ریاضیات ، Basingstoke UK: Palgrave.
Boolos، G. (1987)، “قوام فرگه مبانی حسابی ، در (تامپسون 1987): 211-233.
Boolos، G. (1989) ، “Iteration Again” ، مباحث فلسفی 17 (2): 5—21.
Boolos، G. (1990a) ، “استاندارد برابری اعداد” ، در (Boolos 1990b): 3-20.
Boolos، G. (ویرایش) (1990b) ، معنی و روش: مقالاتی به افتخار هیلاری پاتنام ، کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج.
Boolos، G. (1997) “آیا اصل هیوم تحلیلی است؟” ، در (هک 1997): 245-2261.
Boolos، G. (1998) ، منطق ، منطق و منطق ، کمبریج MA: انتشارات دانشگاه هاروارد.
Boolos ، G. & R. Heck (1998) ، ” The Basic of the Arritmetic §82-83″ ، in (Boolos 1998): 315-338.
کوک ، R. (ویرایش) (2007) ، The Arché Papers on Mathematics of Abstraction ، Dordrecht: Springer.
کوک ، آر. (2009) ، “موج های جدید در ساحل قدیمی: فلسفه ریاضیات Fregean امروز” ، در (Bueno & Linnebo 2009): 13-34.
کوک ، R. (2013) ، “چگونه می توانم Frege’s Grundgesetze را خواند” (ضمیمه (Frege 1893/1903/2013): A1 – A41.
کوک ، آر. (2016) ، “ضرورت ، ضرورت ، و اعداد” انجمن فلسفی 47: 385-414.
کوک ، R. (2019) ، “قضیه کوچک فرگه و راه فرگه” ، در (Ebert & Rossberg 2019): 384-410.
کوک ، R. & P. Ebert (2005) ، “انتزاع و هویت” ، Dialectica 59 (2): 121-1139.
کوک ، R. & P. Ebert (2016) ، “دستور فرگه” ، مجله فلسفه 113 (7): 309-345.
کوک ، آر. و Linnebo (2018) ، “Cardinality and Acceptable Acceptration” ، Notre Dame Journal of Formal Logic 59 (1): 61-74.
دامت ، م. (1956) ، “نامگذاری” ، بررسی فلسفی 65 (4): 491-505.
دامت ، م. (1991) ، فرگه: فلسفه ریاضیات . کمبریج MA: انتشارات دانشگاه هاروارد.
Ebert ، P. & M. Rossberg (eds.) (2016)، Abstractionism: Essays in Philosophy of ریاضیات ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
Ebert ، P. & M. Rossberg (eds.) (2019)، Essays on Frege’s Basic قوانین در حساب ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
اقلیدس (2012) ، عناصر ، تی هیت (ترجمه) ، مینئولا ، نیویورک: دوور.
Ferreira، F. & K. Wehmeier (2002)، “On the Consistence of $\ دلتا^1_1$ – CA Fragment of Frege’s Grundgesetze “، Journal of Philosophical Logic 31: 301—311.
فیلد ، اچ (2016) ، علم بدون اعداد ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
فاین ، ک. (2002) ، محدودیت های انتزاع ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
Frege ، G. (1879/1972) Notation Conceptual and Articles Related (T. Bynum trans.) ، آکسفورد: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
فرگه، G. (1884/1980)، مرگ مفاهیم der Arithmetik (مبانی حسابی) 2 ^دوم اد، جی آستین، شیکاگو (ترانس): انتشارات دانشگاه نورث وسترن است.

برچسب‌ها: اصل هیوکم • اصل هیوم و مشکل سزلر • انتزاع • انتزاع پویا • انتزاع گرایی • پارادوکس راسل • ریاضی • ریاضیات و انتزاع گرایی • فلسفه ریاضی • قانون اساسی V • قضیه فرگه • منطق نئو • نئو منطق و درک

ریاضیات و انتزاع گرایی

مختصری درباره ریاضیات و انتزاع گرایی

فهرست مطالب

1. تاریخ مختصری از انتزاع گرایی